12-超级课堂：乘法公式2

超级课堂－乘法公式2

乘法公式的拓展应用 例1、若实数a,b（a≠b）满足a2-a-2015=0，b2-b-2015=0，求a-b的值；

例2、若a+b=1，ab=-1,设s1=a+b,s2=a2+b2,s3=a3+b3,…,sn=an+bn, (1)、s2=______; s4=_______;

(2)、直接写出sn-2,sn-1,sn三者之间的关系式； (3)、利用以上得出的结论计算a7+b7的值；

例3、一个正整数若分别加上100和168，则可得两个完全平方数，求这个正整数；

例4、（全国联赛题）设实数a,b满足a2(b2+1)+b(b+2a)=40，a(b+1)+b=8求

11?的值； a2b2

例5、已知a-b=4，ab+c2+4=0，求a+b的值；

例6、已知a+

11?10，求a-的值； aa

例7、若a-b=1，求a2-b2-2b的值；

例8、已知a2+b2-6a+10b+34=0，求a+b的值；

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例9、已知m是一个大于5的实数，a=m2-2m-3,b=m2-4,c=m2+2m-3,求证：以a,b,c为边能构成一个三角形

例10、求证：m(m+1)(m+2)(m+3)+1是完全平方式；

竞赛训练 例11、已知：c+b=3a2-6a+3, c-b=a2-2a+3 （1）、求2b-c的值。 （2）、求c的最小值。 （3）、若

c为整数，求整数a的值。 bc的取值范围。 b （4）、若a为任意实数，且b不为0，求

例12、已知a,b,c满足a2+b2+c2=

2005，求(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值。 3

例13、已知a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=4,求a4+b4+c4的值

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超级课堂－乘法公式2

乘法公式的拓展应用 例1、若实数a,b（a≠b）满足a2-a-2015=0，b2-b-2015=0，求a-b的值； a2-a-2015=0①，b2-b-2015=0②；①+②得：(a2+b2)-(a-b)-4030=0 ③； ① +②得：（a2-b2）-(a-b)=0；④； 得a+b=1 ⑤；代入③得a2+b2=4031； 将⑤平方得a2+b2+2ab=1；得ab=-2015；得a-b=±8061 例2、若a+b=1，ab=-1,设s1=a+b,s2=a2+b2,s3=a3+b3,…,sn=an+bn, (1)、s2=______; s4=_______;

(2)、直接写出sn-2,sn-1,sn三者之间的关系式； (3)、利用以上得出的结论计算a7+b7的值；

例3、一个正整数若分别加上100和168，则可得两个完全平方数，求这个正整数；

例4、（全国联赛题）设实数a,b满足a2(b2+1)+b(b+2a)=40，a(b+1)+b=8求

11?的值； a2b22a2b2-16ab+64-40=0; a2b2-8ab+12=0; (ab-4)2=4 ab=2 , a2+b2=40-a2b2-2ab=32

ab=6 , a2+b2=40-36-12=-8 平方和为负数不成立. 所以,ab=2, a2+b2=32

1/a2 + 1/b2=(a2+b2)/a2b2=32/22=8

例5、已知a-b=4，ab+c2+4=0，求a+b的值；

a-b=4 , ab+c2+4=0 , c2+4=-ab=-b(b+4)=-b2-4b ;c2=-b2-4b-4=-(b+2)2 因为c2≥0 ;(b+2)2≥0 ;只有1个答案:0=0,即c=0,a=2,b=-2

11例6、已知a+?10，求a-的值；

aaa+1/a=√10；(a+1/a)2=10；a2+1/a2+2=10；a2+1/a2=8 (a-1/a)2=a2+1/a2-2=6；所以 a-1/a=±√6

例7、若a-b=1，求a2-b2-2b的值；

a-b=1；得：a=b+1；所以,原式=(b+1)2-b2-2b=b2+2b+1-b2-2b=1

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例8、已知a2+b2-6a+10b+34=0，求a+b的值；

a2+b2-6a+10b+34= 0；a2-6a+9+b2+10b+25=0；(a-3) 2+(b+5)2=0 a-3=0；a=3；b+5=0；b=-5；a+b=-2

例9、已知m是一个大于5的实数，a=m2-2m-3,b=m2-4,c=m2+2m-3,求证：以a,b,c为边能构成一个三角形

c-a=2m+1>0；b-a=m-1>0； a+b-c=(m-2)2-8>(5-2)2-8=1>0

例10、求证：m(m+1)(m+2)(m+3)+1是完全平方式；

m(m+1)(m+2)(m+3)+1 =m(m+3)(m+1)(m+2)+1 =(m2+3m)(m2+3m+2)+1 =(m2+3m)[(m2+3m)+2]+1 =(m2+3m)2+2(m2+3m)+1 =[(m2+3m)+1]2 竞赛训练 例11、已知：c+b=3a2-6a+3, c-b=a2-2a+3 （1）、求2b-c的值。 （2）、求c的最小值。 （3）、若

c为整数，求整数a的值。 bc的取值范围。 b （4）、若a为任意实数，且b不为0，求

（1）、由c+b=3a2-6a+3, c-b=a2-2a+3得：c=2a2-4a+3;b=a2-2a故2b-c=2(a2-2a)- (2a2-4a+3)=-3 （2）、c=2a2-4a+3=2(a-1)2+1; ∴最小值为1

3c2a2?4a?3?2?（3）、=为整数 22ba?2aa?2a∴a2-2a为3的约数

若a2-2a=1，a不为整数；若a2-2a=-1，则a=1；

若a2-2a=3，则a=-1或3若a2-2a=-3，a无解；∴a=1或-1或3； （4）、∵b≠0，∴a2-2a≠0；a≠0且a≠2 当a>0或a<2时，a2-2a>0,

3c=2?2>2 ba?2a3<-3

a2?2a当0

例12、已知a,b,c满足a2+b2+c2=

3ccc<-1,即<-1，故>2或<-1 2bbba?2a2005，求(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值。 3∵(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=3(a2+b2+c2)-(a+b+c)2 又∵a2+b2+c2=

2005 ,∴3(a2+b2+c2)=2005 34

∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=2005-(a+b+c)2≤2005

当且仅当a+b+c=0时等号成立，∴最大值为2005

例13、已知a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=4,求a4+b4+c4的值

∵ (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca, ∴ab+bc+ca=-2 ∵ a2b2+b2c2+c2a2=(ab+bc+ca)2-2(a+b+c)abc=4 ∴ a4+b4+c4=( a2+b2+c2)2-2(a2b2+b2c2+c2a2)=8

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