点睛班讲义

迎春杯点睛班 构造与论证

近三年真题分类解析

1. 老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1,2,?31． 如果有两位同学的编号的乘

积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同学中至少需要选出 人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．

2. 在反恐游戏中，一名“恐怖分子”隐藏在 10 个排成一行的窗户后面，一位百发百中的“反恐

精英”使用狙击枪射击这名“恐怖分子”．“反恐精英”只需射中“恐怖分子”所在的窗户就能射中这名“恐怖分子”．每次射击完成后，如果“恐怖分子”没有被射中，他就会向右移动一个窗户．一旦他到了最右边的窗户，就停止移动．为了确保射中这名“恐怖分子”，“反恐精英”至少需要射击______次；

3. 在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分

为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，

11 17 脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块（或

三块）区域的交界线上，则得两块（或三块）区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投4 中 次飞镖．

4. 小华编了一个计算机程序．程序运行后一分钟，电脑屏幕上首次出现一些肥皂泡，接下来每到

整数分钟的时刻都会出现一些新的肥皂泡，数量与第一分钟出现的相同．第11次出现肥皂泡后半分钟，有一个肥皂泡破裂．以后每隔一分钟又会有肥皂泡破裂，且数量比前一分钟多1个（即第 12 次出现肥皂泡后半分钟，有 2个肥皂泡破裂?）．到某一时刻，已破裂的肥皂泡的总数恰好等于电脑屏幕上出现过的肥皂泡的总数，即此刻肥皂泡全部消失．那么在程序运行的整个过程中，在电脑屏幕上最多同时有______个肥皂泡出现；

迎春杯点睛班

近三年真题分类解析

5. 一个电子表用5个两位数（包括首位为0的两位数）表示时间，如15:23:45/06/18表示6月

18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是 ．

6. 平面上有 15 个红点，在这些红点间连一些线段．一个红点连出了几条线段，就在这个红点上

标几．已知所有标有相同数的红点之间互不连线，那么这15 个红点间最多连了___________条线段．

7. 40根长度相同的火柴棍摆成右图，如果将每根火柴棍看作长度为1的线段，那么其中可以数出

30个正方形来．拿走5根火柴棍后，A,B,C,D,E五人分别作了如下的判断： A：“1×1的正方形还剩下5个．” B：“2×2的正方形还剩下3个．” C：“3×3的正方形全部保留下来了．” D：“拿走的火柴棍所在直线各不相同．” E：“拿走的火柴棍中有4根在同一直线上．”

已知这5人中恰有2人的判断错了，那么剩下的图形中还能数出 个正方形．

行程问题

1. A,B,C三地依次分布在由西向东的同一条道路上，甲,乙,丙分别从A,B,C同时出发，甲,乙向东，

丙向西；乙,丙在距离B地18千米处相遇，甲,丙在B地相遇，而当甲在C地追上乙时，丙已走过B地32千米．那么，AC间的路程是 千米．

2. A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，

相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船

在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒．

迎春杯点睛班

近三年真题分类解析

3. 一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇

向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇 千米．

4. 如图，C、D为AB的三等分点。8点整时甲从A出发匀速向B行走，8点12分乙从B出发匀速

向A行走，再过几分钟丙从B出发匀速向A行走；甲、乙在C点相遇时丙恰好走到D点，甲、丙8:30相遇时乙恰好到A。那么，丙出发时是____点_____分； A C D B

5. 小李开车从甲地去乙地，出发后2小时，车在丙地出了故障，修车用了40分钟，修好后，速度

只为正常速度的75%，结果比计划时间晚2小时到乙地．若车在行过丙地72千米的丁地才出故障，修车时间与修车后的速度分别还是40分钟与正常速度的75%，则比计划时间只晚1.5小时．那么，甲乙两地全程____千米；

6. 甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发，在AB 间往返行走；甲出发的同时，丙也从A 出发去B．当

甲、乙两人第一次迎面相遇在C 地时，丙还有100 米才到C；当丙走到C 时，甲又往前走了108 米；当丙到B 时，甲、乙正好第二次迎面相遇．那么A、B 两地间的路程是___________米．

7. 甲、乙、丙三人同时从A出发去B，甲、乙到B后调头回A，并且调头后速度减少到各自原来速

度的一半．甲最先调头，调头后与乙在C迎面相遇，此时丙已行2010米；甲又行一段后与丙在AB中点D迎面相遇；乙调头后也在C与丙迎面相遇．那么，AB间路程是 米．

迎春杯点睛班 逻辑推理

近三年真题分类解析

1. 小明和8个好朋友去李老师家玩．李老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个两

位数，这9个两位数互不相同，且每个小朋友只能看见别人帽子上的数．老师在纸上又写了一个数A，问这9位同学：“你知不知道自己帽子上的数能否被A整除？知道的请举手．”结果有4人举手．老师又问：“现在你知不知道自己帽子上的数能否被24整除？知道的请举手．”结果有6人举手．已知小明两次都举手了，并且这9个小朋友都足够聪明且从不说谎，那么小明看到的别人帽子上的8个两位数的总和是 ．

2. 太平洋某岛国的一个部落里只有两种人：一种是永远说真话的老实人，一种是永远说假话的骗

子．一天，这个部落的2009个人举行了一次圆桌会议，每个人都声称：“我左右的两个人都是骗子”．第二天，会议继续进行，但一人因病未能到会，因此只有2008个人参加第二天的会议．大家按照新的顺序坐了下来，此时，每个人都声称：“我左右的两个人都和我不是同一种人”．参加第一天圆桌会议的人之中共有 位老实人．

3. 一个新建 5 层楼房的一个单元每层有东西2 套房；各层房号如右图所示，现已有赵、钱、孙、

李、周五家入住．一天他们5 人在花园中聊天： 赵说：“我家是第3 个入住的，第1 个入住的就住我对门．” 钱说：“只有我一家住在最高层．” 孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了．” 李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．” 周说：“我家住在106 号，104 号空着，108 号也空着．”

他们说的话全是真话．设第1、2、3、4、5 家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那么五位数ABCDE ＝___________．