2017-2018学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量

3.2.2 空间线面关系的判定(一)

学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.

知识点一 直线的方向向量与平面的法向量

思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？

梳理 (1)用向量表示直线的位置

条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的________) →在直线l上取AB＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，→使得AP＝________ 定位置 定点 点A和向量a可以确定直线的________ 可以具体表示出l上的任意________ 形式 作用

(2)用向量表示平面的位置

①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：

条件 形式

平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O →对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得OP＝xa＋yb ②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：

平面的法向量 确定平面位置

(3)直线的方向向量和平面的法向量

直线的方向向量 能平移到直线上的________向量a，叫做直线l直线l⊥α，直线l的________________叫做平面α的法向量 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的 平面的法向量

(4)空间中平行关系的向量表示

的一个方向向量 直线l⊥α，取直线l的______，n叫做平面 α的法向量 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则

线线平行 线面平行 面面平行

知识点二 利用空间向量处理平行问题

思考 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系.

(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？

(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？

梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.

l∥m?________?a＝kb(k∈R) l∥α?a⊥μ?________ α∥β?μ∥v?________

类型一 求直线的方向向量、平面的法向量

例1 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.

引申探究

若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.

反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z). →→

(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB，AC. →??n·AB＝0，

(3)列方程组：由?

→??n·AC＝0→??n·AB＝0，

(4)解方程组：?

→??n·AC＝0.

列出方程组.

(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.

跟踪训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形.∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.

类型二 利用空间向量证明平行问题

例2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.

反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.

跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面

ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.

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1.若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标可以是________. 2.已知向量n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是________.(填序号)

①n1＝(0，－3,1)；②n2＝(－2,0,4)； ③n3＝(－2，－3,1)；④n4＝(－2,3，－1).

3.已知向量n＝(－1,3,1)为平面α的法向量，点M(0,1,1)为平面内一定点.P(x，y，z)为平面内任一点，则x，y，z满足的关系式是________.