2021高考数学一轮复习课后限时集训49直线的倾斜角与斜率直线的方程理

课后限时集训49

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

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一、选择题

1．(2019·合肥模拟)直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是( ) A．

3

3

B．3 D．－

3 3

C．－3

sin 30°3

A [设直线l的斜率为k，则k＝－＝.]

cos 150°32.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则

( )

A．k1

D [直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且

α2>α3，所以0

?1?3. 若A(－2,3)，B(3，－2)，C?，m?三点在同一条直线上，则m的值为 ?2?

( )

A．－2 1C．－

2

B．2 1D． 2

，

－2－3m－3

D [因为A，B，C三点在同一条直线上，所以kAB＝kAC，所以＝

3－－21

－－221

解得m＝.故选D.]

2

4．直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为( )

1A．－

3

B．－3

1C． 3[答案] A

D．3

5．过点A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A．x＋y＝5 B．x－y＝5

C．x＋y＝5或x－4y＝0 D．x－y＝5或x＋4y＝0

C [若直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点，则直线方程为x－4y＝0；若直线在两坐标轴上的截距不为0，设为a(a≠0)，则直线的方程为＋＝1.又直线过点

xyaaA(4,1)，则a＝5，故直线的方程为x＋y＝5.综上所述，故选C.]

二、填空题

6．直线kx＋y＋2＝－k，当k变化时，所有的直线都过定点________．

(－1，－2) [kx＋y＋2＝－k可化为y＋2＝－k(x＋1)，根据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点(－1，－2)．]

7．已知A(3,4)，B(－1,0)，则过AB的中点且倾斜角为120°的直线方程是________． 3x＋y－2－3＝0 [设AB的中点为M，则M(1,2)，又斜率k＝－3，直线的方程为

y－2＝－3(x－1)．即3x＋y－2－3＝0.]

8．若直线l过点P(－3,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线

l的斜率的取值范围是________．

?－5，－1? [因为P(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)， ?3???

－3－2则kPA＝＝－5，

－2－－3

kPB＝

0－21

＝－.

3－－33

如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为

?－5，－1?.]

??3??

三、解答题

9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

(1)过定点A(－3,4)； 1

(2)斜率为.

6

[解] (1)由题意知，直线l存在斜率． 设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，

4

它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，

k?4?由已知，得(3k＋4)?＋3?＝±6，

?k?

28

解得k1＝－或k2＝－.

33

故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)设直线l在y轴上的截距为b，

1

则直线l的方程为y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，

6由已知，得|－6b|·|b|＝6，∴b＝±1. ∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.

10．过点P(3,0)作一条直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰好被点P平分，求此直线的方程．

[解] 设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上．

x＋x??2＝3

由题意知?y＋y??2＝0

BB

则点B(6－x，－y)，

?2x－y－2＝0，?

解方程组?

??6－x＋－y＋3＝0，

11

x＝，??3得?16

y＝??3，

16

－03

则所求直线的斜率k＝＝8，

11－33

故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.

1．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )

A．y－1＝3(x－3) C．y－3＝3(x－1)

B．y－1＝－3(x－3) D．y－3＝－3(x－1)

D [因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝

－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1). ]

2．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )

A．[－2,2] C．[－2,0)∪(0,2]

B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)

b1?b?12

C [令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为??|－b|＝b，

22?2?4

122

且b≠0，因为b≤1，所以b≤4，

4所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．]

3．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线

l的方程为________．

4x－3y－4＝0 [由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α， 11

因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，

221

2×22tan α4

所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝， 2

1－tanα?1?23

1－???2?4

所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，

3即4x－3y－4＝0.]

4．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围． [解] (1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1， 故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)． (2)直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1， 则直线l在y轴上的截距为2k＋1，

??k≥0，

要使直线l不经过第四象限，则?

?1＋2k≥0，?

解得k≥0，

故k的取值范围是[0，＋∞)．

?π??π?1．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f?－x?＝f?＋x?，则直线ax?3??3?

－by＋c＝0的倾斜角为( )

A.C.

π 42π 3

B.D.

π 33π 4

π?π??π??2π?C [由f?－x?＝f?＋x?知函数f(x)的图像关于x＝对称，所以f(0)＝f??，3?3??3??3?所以a＝－3b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝＝－3，所以直线的倾斜角为故选C.]

2．设P为曲线C：y＝x＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为

2

ab2π，3

?0，π?，则点P的横坐标的取值范围为( ) ??4??

1??A.?－1，－?

2??C．[0,1]

B.[－1,0]

?1?D.?，1?

?2?

A [由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.

?π?因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为?0，?，所以0≤k≤1，

4??

即0≤2x0＋2≤1. 1

所以－1≤x0≤－.故选A.]

2