专题15 三角恒等变换

【高考地位】

三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具. 但由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.

【方法点评】

方法一 运用转化与化归思想

使用情景：含不同角的三角函数式类型

解题模板：第一步 利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式；

第二步 运用有关公式进行变形，主要是角的拆变； 第三步 得出结论.

例1 已知sin(2???)?[来源:学科网]

35??，sin???，且??(,?)，??(?,0)，求sin?的值． 51322【变式演练1】已知??(（1）求cos?的值；

?2,?)，且sin?2?cos?2?6， 23?（，?），??，求cos?的值．

5231【变式演练2】已知 ?,?均为锐角，且sin??，tan(???)??．

53（1）求sin(???)的值； （2）求cos?的值．

（2）若sin(???)??

方法二 运用函数方程思想

使用情景：一般三角函数类型

解题模板：第一步 将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程；

第二步 求解方程组；第三步 得出结论.

例2 已知sin(???)?[来源:学科网ZXXK]

23tan(???)?tan??tan?，sin(???)?，求的值． 234tan??tan(???)【变式演练3】设tan?,tan?是方程x?3x?2?0的两根，则tan(???)的值为（ ） A．－3 B．－1 C．1 D．3

2方法三 运用换元思想

使用情景：一般三角函数类型

解题模板：第一步 运用换元法将未知向已知转化；

第二步 利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换； 第三步 得出结论.

例5 若sin??sin??2,求cos??cos?的取值范围. 2[来源学科网]【变式演练4】已知cos??cos??1，则sin??sin?的取值范围是（ ）．A ??1，1? B ??2，2? C ?0，3? D ??3，3?

????【高考再现】

3?)?10?（ ） 1.【2015高考重庆，理9】若tan??2tan，则

?5sin(??)5cos(??A、1 B、2 C、3 D、4 2.【2015高考四川，理12】sin15??sin75?? . 1,则tanb=（ ） 21155(A) (B) (C) (D)

767614.【2015江苏高考，8】已知tan???2，tan??????，则tan?的值为_______.

73.【2015高考重庆，文6】若tana=,tan(a+b)=[来源学科网]135.【2015高考四川，文13】已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.

6.【2015高考湖南，理17】设?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?btanA，且B为

钝角.

（1）证明：B?A??2；

（2）求sinA?sinC的取值范围.

【反馈练习】

1. 化简2?cos2?sin1的结果是 （ ）

2A．?cos1 B．cos 1 C．3cos 1 D．?3cos1

4?，则sin(2??)的值为（ ）

65324241212A． B． C．- D．-

25252525?13．已知sin??cos??，且????，则cos2??（ ）

2577724A．? B． C．? D．－

252525252. 设α为锐角，若cos(???)＝

4．tan70?tan50?3tan70tan50的值等于（ ）

????A．3 B．5.已知tan(??A．133 C．? D．?333

?5)?2，tan(??554?)??3，则tan(???)?（ ）5[来源:学&科&网Z&X&X&K]

B．?C．D．?1

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6.求值：

(1?tan22?)(1?tan23?)1?2sin610?cos430??＝ ．

2sin250??cos790?