2018年吉林省长春市中考数学试卷

∴BE=2CM=2， ∴FG=2， 故答案为：2．

应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6， ∴ME=3，

同探究（1）得，CG=BE=6， ∵BE⊥CG，

∴S四边形CEGM=CG×ME=×6×3=9， 故答案为9．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出CG=BE是解本题的关键．

23．（10.00分）（2018?长春）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示线段DC的长； （2）当点Q与点C重合时，求t的值；

（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．

【分析】（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论； （2）利用AD+DQ=AC，即可得出结论；

（3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论； （4）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4，

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∴AC=2，

∵PD⊥AC，

∴∠ADP=∠CDP=90°， 在Rt△ADP中，AP=2t， ∴DP=t，AD=APcosA=2t×∴CD=AC﹣AD=2

=t，

﹣t（0＜t＜2）；

（2）在Rt△PDQ中，∵∠DPC=60°， ∴∠PQD=30°=∠A， ∴PA=PQ， ∵PD⊥AC， ∴AD=DQ，

∵点Q和点C重合， ∴AD+DQ=AC， ∴2×∴t=1；

t=2，

（3）当0＜t≤1时，S=S△PDQ=DQ×DP=×当1＜t＜2时，如图2， CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC=2

t﹣2

=2

t×t=

t2；

（t﹣1），

在Rt△CEQ中，∠CQE=30°， ∴CE=CQ?tan∠CQE=2∴S=S△PDQ﹣S△ECQ=×

（t﹣1）×

=2（t﹣1），

t2+4

t﹣2

，

t×t﹣×2（t﹣1）×2（t﹣1）=﹣

∴S=；

（4）

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当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，如图3， ∴∠PGF=90°，PG=PQ=AP=t，AF=AB=2， ∵∠A=∠AQP=30°， ∴∠FPG=60°， ∴∠PFG=30°， ∴PF=2PG=2t， ∴AP+PF=2t+2t=2， ∴t=；

当PQ的垂直平分线过AC的中点M时，如图4， ∴∠QMN=90°，AN=AC=在Rt△NMQ中，NQ=∵AN+NQ=AQ， ∴

+

t=2

t，

，QM=PQ=AP=t， =

t，

∴t=，

当PQ的垂直平分线过BC的中点时，如图5， ∴BF=BC=1，PE=PQ=t，∠H=30°， ∵∠ABC=60°， ∴∠BFH=30°=∠H， ∴BH=BF=1，

在Rt△PEH中，PH=2PE=2t， ∴AH=AP+PH=AB+BH， ∴2t+2t=5， ∴t=，

即：当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为秒或秒或秒．

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【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．

24．（12.00分）（2018?长春）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的

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