导数习题精选精讲

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当1? ? 故

x?3时 f'?x??0 f?x?为减函数

y 0 1 3 f?x?极大值=f?1?=?6?0

f?x?的极大值在x轴的下方，如图1，即f?x?

x 的图象与x轴只有一个交点，原方程只有一个实根。 选C。

例2、已知函数围。

分析：此题给出函数的单调区间，求参数b的范围。可通过对函数求导得出其单调区间，它应包含题中给出的单调区间，初步得出b的范

围。又据

解：?函数

（图1） f?x??x3?3bx2?2b3在???,0?上是增函数，在?0,2?上是减函数，若f?x??16恰有一解，求实数b的取值范

f?x??16恰有一解，即函数值16对应惟一x值。可先由单调性画出f?x?草图，然后数形结合分析求解。

f?x??x3?3bx2?2b3在???,0?上是增函数，在?0,2?上是减函数

y 0 ?由f'?x??3x2?6bx?0得x????,0????2b,???， b?0 ， f'?x??3x2?6bx?0得x??0,?2b? 由题意

?0,2???0,?2b?

?2b x ?2??2b 即b??1 ①

又

f?x?在???,0?和??2b,???上递增，

在

（图2） ?0,?2b?上递减。如图2

?33?2b,?2bf?x? 在?0,?2b?的值域为??f??2b?,f?0??? 即 ???

据图2可知，若 ?

f?x??16恰有一解，只需?2b3?16 得b??2 结合①

?2?b??1

（一）导数与向量的交汇 1.（05湖北卷）已知向量点评：根据数量积求出

a?(x2,x?1),b?(1?x,t),若函数f(x)?a?b在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.

f(x)?x2(1?x)?t(x?1)??x3?x2?tx?t,则f?(x)??3x2?2x?t.

若f(x)在(?1,1)上是增函数,则在(?1,1)上可设f?(x)?0.

?f?(x)?0?t?3x2?2x,在区间(?1,1)上恒成立,考虑函数g(x)?3x2?2x,的图像，要使t?3x2?2x在区间

（－1，1）上恒成立?t?g(?1),即t?5.

故t的取值范围是t?5.

考查意图：本小题考查了向量的坐标运算、导数与单调性之间的关系，不等式恒成立问题的解法，二次函数的区间最值以及数形结合、

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等价转化的基本数学思想。它以教材中新增加的向量、导数为工具揉合了数学中传统的主干知识，综合考查了学生运用数学知识分析问题解决问题的能力。

（二）导数与解析几何的交汇 例2．（06年广东卷）设函数

f(x)??x3?3x?2分别在x1、x2处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B的坐标分别为

(x1,f(x1))、(x2,f(x2)),该平面上动点P满足PA?PB?4,点Q是点P关于直线y?2(x?4)的对称点.求(Ⅰ)点A、B的坐

标 ；(Ⅱ)动点Q的轨迹方程

点评: (Ⅰ)令

f?(x)?(?x3?3x?2)???3x2?3?0解得x?1或x??1

??1处取得极小值,在x?1取得极大值,故

讨论知,函数在xx1??1,x2?1,f(?1)?0,f(1)?4所以, A(?1,0),B(1,4).

(Ⅱ) 设

p(m,n)，Q(x,y)，PA?PB???1?m,?n???1?m,4?n??m2?1?n2?4n?4

kPQ??y?m?x?n?1y?n1?2??4????2? 2，所以x?m2，又PQ的中点在y?2(x?4)上，所以222m,n得?x?8???y?2??9

消去

考查意图：本题考查了导数的几何意义，极值的判断方法，向量的坐标运算，代入法求轨迹以及消元的基本数学思想。 （三）、导数与数列的交汇

例3、（06重庆22）如图，对每个正整数n，

An(xn,yn)是抛

物线

x2?4y上的点，过焦点FBn(sn,tn)。

（Ⅰ）试证：

的直线

FAn交抛物线于另一点

xnsn??4(n?1)；

的两条切线

nCABx?2n（Ⅱ）取，并记n为抛物线上分别以n与n为切点

的交点。试证：

FC1?FC2???FCn?2n?2?n?1?1；

间的关系。因

点评：（Ⅰ）根据

xnsn??4(n?1)的特征，类似根与系数

22ABy?1?kx,x?4knx?4?0,由一元二次方程根与系数的关系得x?4ynnn此联立直线 与抛物线方程得:

xnsn??4(n?1)．

2x?4y在An处的切线的方程为：

（Ⅱ）利用导数知识易得

y?yn?xn(x?xn)2，??①

在

Bn处的切线的方程为：

y?tn?sn(x?sn)2，??②

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2222xn?snxn?snxnsnyn?tn??x???2244由②－①得：

22xn?snxn?snx?sx?,?x?nn242 ，

??③

将③代入①并注意

xnsn??4得交点Cn的坐标为

FCn2(xn?sn,?1)2．

由两点间的距离公式得：

22xn?sn2xnsn?()?4???2244

2xxnx4222??2?2?(n?)?,FCn?n?4xn2xn2xn．

nx?2n现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：

1111FC1?FC2???FCn?(x1?x2???xn)?2(????)2x1x2xn1111?(2?22???2n)?2(?2???n)?(2n?1)?(2?21?n)?2n?2?n?1?1.2222

考查意图：本题综合解析几何、导数、数列等知识点，将函数与数列相综合也是高考命题的一个关注的方向。

（四）利用导数求有关的参数范围问题 (06安徽文(20)) 例1 设a为实数, 函数范围.

点评： 此题是一个利用导数来研究函数单调性的问题. 自然地, 首先求函数的导数, 把研究函数的增减性转化为研究导数的正、负.

求

f(x)= x3－ax2+ (a2?1)x 在 (??, 0 ) 和 ( 1, ??) 都是增函数,求a的取值

f(x)的导数, 得f?(x)= 3x2－2ax +a2－1.

22 下面则转化为二次函数3x－2ax +a－1在区间 (??, 0 ) 和 ( 1, ??) 上均为正的问题, 对于解决这个问题没有现成的定理可直接使用, 用纯代数的方法难以奏效, 必须借助图形来解决.

222aaa其判别式 Δ= 4－12+12 = 12－8.

f?(x)= 3x2－2ax +a2－1, 此函数图象为开口向上的抛物线,

( i ) 若Δ= 12－8a= 0 , 即a =±

2aaa62. 抛物线在x轴上方且与x轴相切与一点x = 3.当x∈(??,3)或 x∈(3,??)

时,

f?(x)> 0, f(x)在(??,??)为增函数. 所以a=±

262.

3f(x)在(??,??)为增函数. 所以 a2> 2,即a∈(??, －

( ii) 若Δ= 12－8a< 0, 抛物线在x轴上方, 恒有

f?(x)> 0,

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662)∪(2 , ??) .

662< a < 2, f?(x) = 0 有二不同根

(iii) 若Δ= 12－8a> 0, 即－

2a?3?2a2x3 1=a?3?2a2x3, 2=

.

xx 当x∈(??,1)或(2,??)时, xx 当x∈(1,2)时,

为使

f?(x)> 0, f(x)为增函数;

f?(x)< 0, f(x)为减函数.

f(x)在(??, 0 )和( 1, ??)为增函数, 必须x1≥0且x2≤1.

x 由 1≥0 得 a ≥3?2a2, 解得1 ≤ a <

62.

2x3?2a2 由 ≤1 得≤3－a, 解得 －

6662 < a < 2 . 从而 a∈[1,2).

综上, a的取值范围为 (??, －

6662]∪[2, ??)∪[1 , 2).

即 a∈(??, －

62]∪[1 , ??).

考查意图： 本题主要考查导数的概念和计算、应用导数研究函数单调性的基本方法, 考查数形结合、分类讨论的数学思想和综合运用数学知识解决问题的能力.

（五）导数的实际应用

例3（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量

y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析

y?式可以表示为：

13x3?x?8(0?x?120).12800080已知甲、乙两地相距100千米。

（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 点评：（I）当x?40时，汽车从甲地到乙地行驶了100/40=2.5小时，

13(?403??40?8)?2.5?17.580 要耗油128000（升）。

（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100/x小时，设耗油量为

h(x)升，

131001280015h(x)?(x3?x?8).?x??(0?x?120),12800080x1280x4 依题意得