最新人教A版必修五高中数学第一章 解三角形 导学案及答案

第一章 解三角形

§1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一)

课时目标

1．熟记正弦定理的内容；

2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．

1．在△ABC中，A＋B＋C＝π，＋＋＝. 22222．在Rt△ABC中，C＝

πab，则＝sin_A，＝sin_B. 2ccABCπ

3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即c

＝，这个比值是三角形外接圆的直径2R. sinBsin C

一、选择题

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则

asinA＝

ba∶b∶c等于( ) A．1∶2∶3B．2∶3∶4 C．3∶4∶5D．1∶3∶2 答案 D

2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( ) A.3＋1B．23＋1

C．26D．2＋23 答案 C

解析 由正弦定理＝，

sinAsinB得

4b＝，∴b＝26.

sin45°sin60°

ab3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为( ) A．直角三角形B．等腰直角三角形 C．等边三角形D．等腰三角形 答案 A

解析 sin2A＝sin2B＋sin2C?(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝

b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．

4．在△ABC中，若sinA>sinB，则角A与角B的大小关系为( ) A．A>BB．A

C．A≥BD．A，B的大小关系不能确定 答案 A

解析 由sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B. 5．在△ABC中，A＝60°，a＝3，b＝2，则B等于( ) A．45°或135°B．60° C．45°D．135° 答案 C

解析 由＝得sinB＝

sinAsinB＝

2sin60°2

＝. 23

abbsinA a∵a>b，∴A>B，B<60° ∴B＝45°.

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝3a，B＝30°，那么角C等于( )

A．120°B．105°C．90°D．75°

答案 A

解析 ∵c＝3a，∴sinC＝3sinA＝3sin(180°－30°－C) ?3?1

＝3sin(30°＋C)＝3?sinC＋cosC?，

2?2?即sinC＝－3cosC. ∴tanC＝－3.

又C∈(0°，180°)，∴C＝120°. 二、填空题

7．在△ABC中，AC＝6，BC＝2，B＝60°，则C＝_________. 答案 75°

262

解析 由正弦定理得＝，∴sinA＝. sinAsin60°2∵BC＝2

1

8．在△ABC中，若tanA＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.

3答案

10 2

110

解析 ∵tanA＝，A∈(0°，180°)，∴sinA＝. 310由正弦定理知

BCsinA＝

ABsinC，

BCsinC1×sin150°10

∴AB＝＝＝.

sinA210

10

9．在△ABC中，b＝1，c＝3，C＝答案 1

2π

，则a＝________. 3

解析 由正弦定理，得

31＝， 2πsinBsin

31

∴sinB＝.∵C为钝角，

2∴B必为锐角，∴B＝∴A＝

π. 6

π， 6

∴a＝b＝1.

10．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝______.

答案 30°

解析 ∵b＝2a∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°， ∴sin(A＋60°)＝2sin A

即sin Acos 60°＋cos Asin 60°＝2sin A， 化简得：sin A＝三、解答题

11．在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形． 解 ∵＝＝，

sin Asin Bsin C22×

1222

33

cos A，∴tan A＝，∴A＝30°. 33

abc∴b＝

asin B22sin 45°＝＝sin Asin 30°

＝4.

∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴c＝

asin C22sin 105°22sin 75°

＝＝＝2＋23. sin Asin 30°1

2

12．在△ABC中，已知a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形． 解 a＝23，b＝6，a