2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型三 其他探究题

【答案】解：(1)CP＝BQ; 【解法提示】如解图①，连接OQ，

由旋转可知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°，∴△POQ是等边三角形， ∴OP＝OQ，∠POQ＝60°， 在Rt△ABC中，O是AB中点， ∴OC＝OA＝OB，

∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ， ∴∠COP＝∠BOQ，

??

OC＝OB在△COP和△BOQ中，?∠COP＝∠BOQ，??OP＝OQ∴△COP≌△BOQ(SAS)， ∴CP＝BQ；

(2)成立，理由如下： 如解图②，连接OQ，

第3题图

第3题解图①

5

第3题解图②

由旋转知PQ＝OP，∠OPQ＝60°， ∴△POQ是等边三角形， ∴OP＝OQ，∠POQ＝60°， ∵在Rt△ABC中，O是AB中点， ∴OC＝OA＝OB，

∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ， ??

OC＝OB在△COP和△BOQ中，?∠COP＝∠BOQ，?

?OP＝OQ∴△COP≌△BOQ(SAS)， ∴CP＝BQ； 6－2

(3)BQ＝2

. 【解法提示】在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6， ∴BC＝AC·tanA＝2，

如解图③，过点O作OH⊥BC于点H，

第3题解图③

∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AC， ∵O是AB中点，

1216∴CH＝2BC＝2，OH＝2AC＝2， ∵∠BPO＝45°，∠OHP＝90°， 6

∴∠BPO＝∠POH，∴PH＝OH＝2， 626－2

∴CP＝PH－CH＝2－2＝2， 6－2连接OQ，同(1)的方法得，BQ＝CP＝2

. 6

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