2011广州一模理科数学试题及答案

2011年广州市高三调研测试

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几

种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答

未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.

题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 B 6 B 7 C 8 B

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题

5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9．19 10．y??13.???,?2???2,??? 14．125 15．相交

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）

(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、解三角形等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)

?213x 11. 126 12. ?

23第 5 页 共 14 页

(1) 解: ∵m??2cos ∴ 2cos2??AA?AA??,sin?,n??cos,?2sin?, m?n??1, 22?22??AA?2sin2??1. ??2分 221 ∴ cosA??. ??4分

21 (2)解: 由(1)知cosA??,且0?A??,

22? ∴ A?. ??6分

3 ∵a?23,b?2,

由正弦定理得

ab232??,即,

2?sinAsinBsinBsin3 ∴sinB?1. ??8分 2∵0?B??,B?A, ∴B??6. ??10分

∴C???A?B??6.

∴c?b?2. ??12分

17. （本小题满分12分） (本小题主要考查条件概率、数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)

(1) 解法1: 设事件A表示“甲厂生产的灯泡”, 事件B表示“灯泡为一等品”, 依题意有P?A??0.6, PBA?0.9,

根据条件概率计算公式得P?AB??P?A??PBA?0.6?0.9?0.54. ??4分

解法2: 该商店储存的50个灯泡中是甲厂生产的灯泡有50?60%?30个, 乙厂生产的灯泡

有50?40%?20个, 其中是甲厂生产的一等品有30?90%?27个, 乙厂生产的 一等品有20?80%?16个,

故从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡, 它是甲厂生产的一等品的概率是 P?分

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????27?0.54. ??450

(2) 解: ?的取值为0,1,2, ??5分

1122C27C23C27C23253621351 P???0??2?, P???1??, ?P??2????22C5012251225C50C501225 ??8

分

∴?的分布列为:

? 0 1 2 P 253621351 122512251225 ∴E??0?2536213511323?1??2???1.08. ??121225122512251225分

18.（本小题满分l4分）

(本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)

(1)证明：∵ PA?平面ABCD，AB?平面ABCD,∴PA?AB.

∵AB?AD，AD?PA?A,AD?平面PAD,PA?平面PAD, ∴AB?平面PAD. ∵PD?平面PAD

∴AB?PD， ??3分

∵BM?PD, AB?BM?B,AB?平面ABM,BM?平面ABM, ∴PD?平面ABM. ∵AM?平面ABM,

∴AM?PD. ??6分 （2）解法1：由（1）知，AM?PD，又PA?AD， 则M是PD的中点, 在Rt△PAD中,得AM? ∴S?ACM?BxCADyMPz2，在Rt△CDM中,得MC?MD2?DC2?3,

16AM?MC?. 22设点D到平面ACM的距离为h，由VD?ACM?VM?ACD， ??8分 111得S?ACM?h?S?ACD?PA. 332第 7 页 共 14 页

6， ??10分 3h6设直线CD与平面ACM所成的角为?，则sin??， ??12分 ?CD33 ∴cos??.

33 ∴ 直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为. ??14分

3解法2： 如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A?xyz，

解得h? 则A?0,0,0?，P?0,0,2?，B?1,0,0?，C?1,2,0?，D?0,2,0?，M?0,1,1?.

????????????? ∴AC??1,2,0?,AM??0,1,1?,CD???1,0,0?. ??8分

?设平面ACM的一个法向量为n?(x,y,z)，

????????????x?2y?0,由n?AC,n?AM可得：?

y?z?0.?令z?1，得x?2,y??1. ?∴n?(2,?1,1). ??10分

?????CD?n6设直线CD与平面ACM所成的角为?，则sin?????. ??12分 ???3CDn∴cos??3. 33. ??14分 3∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为

19．（本小题满分14分）

(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

1x2y2?1a?3的离心率e?, （1）解：∵椭圆E:2?2a3??a2?31 ∴?. ?? 2分

a2 解得a?2.

x2y2??1． ?? 4分 ∴ 椭圆E的方程为43（2）解法1：依题意，圆心为C(t,0)(0?t?2)．

?x?t,212?3t?22 由?x 得y?. y24?1,???43第 8 页 共 14 页