高等数学第六章 定积分应用试题及答案

几何意义：FF??2a，????a，到F与F?距离之积为a2的点的轨迹

2线状物体的质量=物体的弧长×线密度 面状物体的质量=物体的面积×面密度 几何形体的质量=物体的体积×体密度

并且，这些密度（线密度、面密度、体密度）值都是常量，因此只要知道物

??2?r2?a2?2racos???2?r2?a2?2racos? ?(???)?(r?a)?4racos??a

22222224?3?5?7?体的几何量值（弧长、面积、体积），物体的质量就可以很轻松地求出来。 r2?2a2cos2?，?cos2??0，??(0,)?(,)?(,2?)

4444222222在许多的实际应用中，物体的质量并不是均匀分布的，如何实现这种由直角系方程： (x?y)?2a(x?y)

伯努利双纽线还有一种类型：??asin2? 分析同上，图形关于y?x对

称。

22非均匀到均匀的转换呢？当然，我们仍然借助“微元法”思想，当把物体分割得非常微小的时候，非均匀分布的物体就可以近似地看成均匀分布的了。 例如：（1）设有一物质曲线L，已知该物质曲线曲线方程为y = f (x)，x?[a, b]，该曲线在任意点（x, f (x)）的线密度是?(x)，求该物质曲线的质量。 解：在曲线上任取一点A(x, f (x))，在此任意截取一个小弧段?S (即AB)，该弧段非常的微小，小到这段物质弧可以近似看成是均匀分布的，于是该小弧段的质量是：dm??(x)?s??(x)ds

由上一节的计算我们知道，小弧段的弧长微元是

5．阿基米德螺线 ??a?

ds??dx?2??dy?2?1??f?(x)?dx

2几何意义：曲线可以看作这种点的轨迹：从极点射出半射线，动点在射线上作等速运动，同时此射线又绕极点作等速转动。 每两个螺形卷间沿射线的距离是定数

同阿基米德螺线相似的还有对数螺线和双曲螺线图形要熟悉。

6．三叶玫瑰线??acos3? 或??asin3?，四叶玫瑰线 ??asin2?或

所以，所求的物质曲线的质量是：m?? b a?(x) 1??f?(x)?2 dx

（2）设一物质薄片在直角坐标系下所占的平面图形是：x = a，x = b，y = f1(x)和y = f2 (x)所围。 解：已知该物质薄片在任一横坐标为x（x?[a, b]）处的面密度为?s(x)，求该物质薄片的质量。

在任一点x（x?[a, b]）处任意截取一细长条， 该细长条的面积微元为：dS?f2(x)?f1(x) dx

a x b ??acos2?，四种图形要熟悉。

定积分的物理应用

一、质量

由物理学我们知道，均匀分布的物体，其质量是很好求得的。

A B 这个细长条的质量微元为：dm?f2(x)?f1(x)?s(x) dx 该物质薄片的质量为：m?? b af2(x)?f1(x)?(x) dx

x 9

（3）设一物体介于垂直x轴的两个平面x = a与x = b之间，已知截任一点

?s?1?x2。求该物质薄片的质量。

解：y = x2和x = y2的交点为x?0,x?1 该细长条的质量微元是：dm??s(x)x?[a, b]处垂直x轴的截面面积为A(x)，并且在这一点处的体密度为?v(x)。

求该物体的质量。

解：在任一点x（x?[a, b]）处任意截取一个非常薄的薄片，于是该薄片的体积微元为：

?x?x2 dx

2?a b 所以所求物质薄片的质量是：m?=

??1?x?? 1 0x?x2dx

?dV?A(x)dx，所以该薄片的质量微元为：dm??v(x)A(x)dx

所以该物体的质量为：m?233x2?277x2?1315x?x351?044 105? b a?v(x)A(x) dx

4. 一半径为R的物质球，已知球内任意一点的密度?v与该点到球心的距离的平方成正比，求该物质球的质量。

解：在0到R之间任意取定一半径值r，任意给定半径值的一个增量?r，得到球壳的体积：?V???r??r???r3，将此式展开，略去?r的高阶

3我们在实际应用中，利用“微元法”的思想，当把物体分割得非常微小的时候，就可以把它看成均匀分布的了，同时这个“微元”也可以把它看成规则几何体，于是不难的出“小微元”的质量。 1. 一金属棒长3m，离棒左端xm处的线密度为?(x)?问x何值时，[0，x]一段的质量为全棒质量的一半。

Xx1M(x)??(t)dt?dt00t?1 解：

x?2t?1|0?2x?1?2,M(3)?2。欲使

43431x?1(kg/m)。 无穷小部分，得?V?4?r?r?球壳的体积微元dV?4?r2dr

由已知可设球的密度函数是?v(r)?k r2 所以球壳的质量微元为dm?4k? r4dr 所以球的质量为m?4k?二、 功

由物理学我们知道，一恒力F作用在一物体上，该物体作直线运动，如果物体沿力的方向运行的距离是S，则力F对物体所作的功是W?F?S

在实际应用中，常常会遇到变力作功的问题，这样的话，我们又要进行“变”与“恒”的矛盾转换，于是，又要把整体问题微小化，在非常微小的范围内就可以近似地看成恒力做功问题了。

2??? R 0r4dr?4k?R5 52x?1?2?15M(3)，则x?(m) 2422. 设一物质曲线y?x（1?x?3）上任一点的线密度?l的值与该点到y轴的距离成正比，已知曲线在点（2，4）的线密度为4。求该物质曲线的质量。 解：由已知可设物质曲线的线密度为?l??(x)?kx，已知?(2)?4，所以k =2。设所求的物质曲线的质量为m，则

m?? 3 1122x1??2x?dx?1?4x26??33211?3737?55 6??y 设一物体在外力F的作用下，沿力的方向由点a移到点b，已知物体处于点x?[a, b]处时，外力F的大小为F(x)，求外力F对该物体所作的功。

在点a到点b之间任意取定一值x?[a, b]，

3. 设一物质薄片在直角坐标系下所占的平面图形以y = x2和x = y2为边界，该簿片上任一点处的面密度为

x 1 x

10

并且任给自变量一个增量?x，得到功微元为

a b

dW?F(x)?x?F(x)dx

所以外力F对物体所做的功为：W?4.（1）证明：把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是

? b aF(x)dx W?GmMh其中G是引力常数，M是地球的质量，R是地球的半径；

R(R?h)1. 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温的情况下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞由点a推到点b，计算在移动过程中，气体压力对活塞所做得功。

解 ：如图取坐标系。圆柱形左端底面位置为坐标原点。在a到b之间任意取定一值x，由物理学可知，

（2）一个人造地球卫星的质量为173kg，在高于地面630km处进入轨道。问把这个卫星从地面送到630km的高空处，克服地球引力要作多少功？已知引力常数G?6.67?10?11m3/(s2?kg)，地球质理M?5.98?1024kg，

a b 地球半径R=63070km。

（1）证明 将质量为m的物体从x处升高到x+dx处克服地球引力所作的功为

在等温情况下气体的压强p与体积V的乘积等于常数k，即：PV = k

而气体体积V = xS，因此p?k1 SxdW?GmMdx其中x表示物体与地心的距离。从而 2x1所以作用在活塞上压力是F?pS?k

xW??R?hRGmM11mMhdx?GmM(?)?G 2RR?hR(R?h)x?111bkdx?kln

a axa2．直径为20cm、高为80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽。设温

那么气体对活塞所作的功是W? Fdx?? b? b（2）解 W?6.67?10173?5.98?1024?630?9.75?105(kJ)

6370?7000度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要做多少功？

解：k?pV?10???102?80?80000?，当圆柱体的高减少x cm时的压强

5. 一物体按规律x?ct3作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比。计算物体由x?0移至x?a时，克服阻力所作的功。

23解 x?ct，v??x??3ct，阻力

8008002?为p(x)?，dW?p(x)sdx???10?dx， 280?x80?x??10?(80?x)80000?W??400??102800dx?80000?ln2(N?cm)?800?ln2(J) 80?x??x?29kct?9kc???F?kv=

???c?2421/3??， ??40xx?dx11?h3. 弹簧在伸长过程中，力与伸长量成正比，如果用F表示力，x表示伸长量，那么F = kx。求弹簧由平衡位置拉伸S(cm)所消耗的功。 解：在0到S之间任取一值x，此时作用在弹簧 上的拉力为F?kx，此时，拉力所做得功微元是： 将物体从x处移至x+dx处克服阻力作的功为

dW?Fdx?9kc/23x4/3，W??a09kc2/3x4/3dx?272/37/3kca（k为比例常数） 76. 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1cm，如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？

dW?Fdx?kxdx

所以，拉伸弹簧所消耗的功为：W? kxdx? 0? Sk2x2S?0kS 211

2解：设用铁锤将一铁钉击入木板的深度为xcm，依题意，铁钉阻力为F=kx。于是将铁钉从x处击入x+dx处克服阻力所作的功为dW=kxdx。

1第一次打击铁钉所做的功为W1??0kxdx?1k，第二次打击铁钉所做的功为 2

或者以圆的圆心为原点建立坐标系，将球从水中取出时，球的各点上升的高度均为2r，在x处取一厚度为dx的薄片，在将球从水中取出的过程中，薄片在水下上升的高度为r?x，在水上上升的高度为r?x，在水下对薄片所做的功为零，在水上对薄片所作的功为：

W2??1?h1kxdx?1kk[(1?h)2?1]?，得h?2?1 227. 设一锥形贮水池，深15m，口径20m，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？ 解：建立坐标系，将贮水池内深度为 x到x+dx部分的水吸出所作的功

2??dW?mgxdx??Vgxdx??g?yxdx??g??10?x?xdx3??y15?xx和y之间的关系式为：，化简为：2x?3y?30。 ?1015315?2?W??g???10?x?xdx??g1875?=57697.5(kJ)

03??8. 一条均匀的链条长28m，质量20N，悬挂于某建筑物顶部，需做多少功

22dW??y2dx?g?(r?x)??g?r?x?r2?x2dx

所做的功为：W??g3、水压力

由物理学我们知道，在一密度为?的液体中，深为h处的液体压强为：

??4422????r?xr?xdx??rg ??rr3P??gh

那么，一面积为S的薄板，水平地放在深为h的液体中，那么，该薄板所受的压力是：F?PS??ghS

如果薄板是垂直液体表面插入液体中的，由于不同深度的压强不同，所以薄板受力的情况也不同。在水中情况下，我们怎么求薄板受力的大小呢？ 1.一矩形水闸门，垂直地插入水中，该闸门的宽为2米，高为3米，闸门的上沿离水面半米，求闸门的一面受水的压力。（水的密度为103kg/m3） 解：依题意如右图建立坐标系。在0.5到3.5之间任意取定一值x，任意给定一个增量?x，那么在水深为x米处宽为?x细长条所受的压力为：dF??gx? 2?x?2?gxdx 所以闸门所受的压力为

0 才能把它全部拉上建筑物顶部

解：如图，将位于x处、长度为dx的一小段拉到顶部， 其质量为

2055dx?dx，所做的功元素dw?xdx。全部拉 2877285285上建筑物顶部所做的功w??xdx?x2?280(kJ)

701409. 半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？

解：研究厚度为dx部分的球所作的功dw，由于球的比重与水相同，因此这部分的球由x处提升到水面不作功，而将球从水中取出，这部分球将向上提起2r?x，克服重力做功，从而

dW??y2dx?g?(2r?x)??g(2r?x)[r2?(x?r)2]dx

故W?F??2?g xdx??gx2 0.5 3.53.50.5?8.75?g?85.75kJ，

?2r0?g(2r?x)(2rx?x2)dx??r4g

12

432. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如图所示，当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。