初高中数学衔接教材1[1] 2

2由于a?0，所以不等式bx?ax?c?0可变为

b2cx?x??0 ，即－5x2?x?6?0,aa

62整理，得 5x2?x?6?0,所以，不等式bx?ax?c?0的解是x＜－1，或x＞ ．

5点评：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题． 例5 解关于x的一元二次不等式x2?ax?1?0(a为实数).

分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式?的符号,而这里的?是关于未知系数的代数式, ?的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对?的符号进行分类讨论. 解: ??a?4,

22?a?a?4?a?a?42,x2?. ①当??0,即a??2或a?2时, 方程x?ax?1?0的解是x1?222?a?a2?4?a?a2?4所以,原不等式的解集为x?； , 或x?22a

②当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式的解为x≠－ ；

2 ③当??0,即?2?a?2时,原不等式的解为一切实数 .

?a?a2?4?a?a2?4 综上,当a≤－2，或a≥2时，原不等式的解是x?； , 或x?22当?2?a?2时,原不等式的解为一切实数．

例6 已知函数y＝x2－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最小值为n，试将n用a表示出来．

分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位

置进行分类讨论．

解：∵y＝(x－a)2＋1－a2， ∴抛物线y＝x2－2ax＋1的对称轴方程是x＝a． （1）若－2≤a≤1，由图2.3-3①可知,当x＝a时，该函数取最小值n＝1－a2； (2)若a＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x＝-2时，该函数取最小值 n＝4a+5； (2)若a＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x＝1时，该函数取最小值n＝-2a+2.

?4a?5,a??2,?2 综上,函数的最小值为n??1?a,?2?a?1,

??2a?2,a?1.?

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练 习

1．解下列不等式：

（1）3x2－x－4＞0；（2）x2－x－12≤0；（3）x2＋3x－4＞0；（4）16－8x＋x2≤0．

2.解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a为常数）．

?x2?x2?y2?4,?(x?3)2?y2?9,???y2?1,习题2．3 A 组 1．解下列方程组：（1）?4 （2）?（3）?2 2??x?2y?0;?x?y?2.?x?y?2?0;?2．解下列不等式： （1）3x2－2x＋1＜0；（2）3x2－4＜0； （3）2x－x2≥－1； （4）4－x2≤0． B 组

?y2?4x,1．m取什么值时,方程组?有一个实数解?并求出这时方程组的解．

?y?2x?m2．解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）． C 组

1．已知关于x不等式2x2＋bx－c＞0的解为x＜－1，或x＞3．试解关于x的不等式bx2＋cx＋4≥0． 2．试求关于x的函数y＝－x2＋mx＋2在0≤x≤2上的最大值k．

3．1 相似形

3.1.1．平行线分线段成比例定理

在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.

在一张方格纸上，我们作平行线l1,l2,l3（如图3.1-1），直线a交

l1,l2,l3于点A,B,C，AB?2,BC?3，另作直线b交l1,l2,l3于

点A',B',C'，不难发现

A'B'AB2??. B'C'BC3图3.1-1

我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

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如图3.1-2，l1//l2//l3，有

ABDEABDE=?.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，BCEFACDF我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.

例1 如图3.1-2， l1//l2//l3，且AB=2,BC=3,DF=4,求DE,EF. 解 Ql1//l2//l3\\,ABDE228312==DE,?DF?,EF?DF?. BCEF32?352?35例2 在ABC中，D,E为边AB,AC上的点，DE//BC， 求证：

图3.1-2

ADAEDE??. ABACBC证明（1）

DE//BC,??ADE??ABC,?AED??ACB,?ADE∽ABC，?ADAEDE??. ABACBC证明（2） 如图3.1-3，过A作直线l//BC，

l//DE//BC,?ADAE?. ABAC过E作EF//AB交AB于D，得BDEF， 因而DE?BF.

EF//AB,?

ADAEDEAEBFDE??. ??. ?ABACBCACBCBC从上例可以得出如下结论：

平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

图3.1-3

平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

例3 已知ABC，D在AC上，AD:DC?2:1，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上.

解 假设能找到，如图3.1-4，设EC交BD于F，则F为EC的中点，作

EG//AC交BD于G.

EG//AC,EF?FC，?EGF?CDF，且EG?DC， ?EG//1AD,BEG2BAD，且

BEEG?BAAD图3.1-4

1?,?E为AB的中点.可见，当E为AB的中点时，EC的2中点在BD上.

我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.

例4 在VABC中，AD为DBAC的平分线，求证：

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ABBD=. ACDC

例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）. 练习1

1．如图3.1-6，l1//l2//l3，下列比例式正确的是（ ） A．

2．如图3.1-7，DE//BC,EF//AB,AD=5cm,DB=3cm,FC=2cm,求BF.

图3.1-7

3．如图，在?ABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.

图3.1-8

ADCEADBCCEADAFBE==== B． C． D. DFBCBEAFDFBCDFCE图3.1-6

DBAC的外角平分线AD交BC的延长线于点D，4．如图，在?ABC中，

求证：

5．如图，在?ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE

图3.1-9

ABBD=. ACDCDFAC=延长线交BC的延长线于F.求证：. EFAB

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