2014人教A版高中数学必修四 2.5《平面向量应用举例》教学设计

2.5《平面向量应用举例》教学设计

【教学目标】

1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题； 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神. 【导入新课】 回顾提问：

（1）若O为?ABC重心,则OA+OB+OC=0. （2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=

1AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形为等腰梯2形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?

(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？

教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来.

新授课阶段

探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a?b，则|a|?|b|，且a,b所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．

教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行，ABCD中，设AB＝a,AD＝b，则AC?AB?BC?a?b（平移）

．向量AD，AB的夹角为?DAB.因此，DB?AB?AD?a?b，AD?b?|AD|2（长度）

可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果 “翻译”成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用

例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 已知：平行四边形ABCD．

22求证：AC?BD?AB?BC?CD?DA．

分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意

22到AC?AB?AD， DB?AB?AD，我们计算|AC|和|BD|．

222222证明：不妨设AB?a，AD?b，则

AC?a+b，DB?a-b，|AB|2?|a|2，|AD|2?|b|2．

2得|AC|?AC?AC?( a+b)·( a+b)

= a·a+ a·b+b·a+b·b= |a|+2a·b+|b|． ①

2同理,|DB|?|a|-2a·b+|b|． ②

2

2

22

2222①+②得 |AC|?|DB|?2(|a|+|b|)=2(|AB|?|AD|)．

2

2

所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 师：你能用几何方法解决这个问题吗？

让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况.

师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，

他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.

用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤：

⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ⑶把运算结果“翻译”成几何关系．

变式训练：?ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设

AB?a,AC?b.（1）证明A、O、E三点共线；（2）用a,b表示向量AO.

例2 如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

分析：由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可．

解：设AB?a，AD?b，则AC?a+b．

因为AR与AC共线，因此，存在实数m，使得AR=m(a+b)． 又因为BR与BE共线，因此存在实数n，使得BR=nBE= n(由AR?AB?BR=AB? nBE，得m(a+b)= a+ n(整理得(m?n?1)a＋(m?1b- a)． 21b- a)． 21n)b＝0． 21?m?,?m?n?1?0,???3由于向量a、b不共线，所以有 ?解得? 12m?n?0,??n?.?2?3?1AC． 31同理 TC?AC．

31于是 RT?AC．

3所以AR?所以 AR＝RT＝TC．

说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法．

探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ （2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么？ 师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．

例3 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？

分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、?三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了问题的数学解释．

解：不妨设|F1|=|F2|， 由向量加法的平行四边形法则，物理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到

|F1|=

|G|2cos?2．

通过上面的式子我们发现，当?由0~180逐渐变大时，

?由0~90逐渐变大，2cos?2的值由大逐渐变小，因此，|F1|有小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹

角越小越省力．

师：请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题： ⑴?为何值时，|F1|最小，最小值是多少？ ⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？

例4 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d?500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？

分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水

的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）

22解：|v|=|v1|?|v2|?96(km/h)，

所以， t?d0.5??60?3.1(min)． |v|96答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min．

本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的船必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系后，本例就容易解决了.

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例5 已知|a|?2 |b|?3,a与b的夹角为60,c?5a?3b,d?3a?kb,当实数k为

何值时，⑴c∥d？⑵c?d？

9解：⑴若c∥d，得k?；

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