无穷小与无穷大

一、 无穷小与无穷大 1. 无穷小的定义

定义1当在给定的x?x0?或x???时，f?x?以零为极限，则称f?x?是

x?x0?或x???下的无穷小量，简称无穷小，记作limf?x??0(或limf?x??0)

x?x0x??例如, 函数y?3x?6是x?2时的无穷小，而函数y?1是x??时的无穷小。 2x注意

(1)无穷小是变量,不能把无穷小量和很小的数混淆;一般来说，无穷小表达的是量的变化状态，而不是量的大小，一个量不管多么小，都不是无穷小量，零是唯一可作为无穷小的常数。 (2)当x?x0,x?x0?,x???,x???时都可得到相应的无穷小量 例1 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小？

1?1? ?2?y?2 ?3?y?2x ?4?y??? x?4?1?y?x?1?4?x?解 (1) 因为lim11?0，当x??时，为无穷小

x??x?1x?1x?2 (2) 因为?2?lim?2x?4??0，所以当x?2时，2x?4为无穷小

x （3）因为lim2?0，所以当x???时，2无穷小

xx????1??1? (4) 因为lim???0，所以当x???时，??为无穷小

x???4???4?2. 无穷大的定义

定义2 如果x?x0(或x??)时，f?x?无限增大，则称f?x?为当x?x0(或

xxx??)时的无穷大量，简称无穷大，记作limf?x???(或limf?x???)。

x?x0x??

特殊情形：正无穷大，负无穷大．

limf(x)???(或limf(x)???)

x?x0(x??)x?x0(x??)注意:

(1).无穷大是变量,不能与很大的数混淆;

(2)切勿将limf(x)??认为极限存在.

x?x0(3)．当x?x0?。x?x0?，x???，x???时可得到相应的无穷大定义

3. 无穷大与无穷小的关系

定理1 在自变量的同一变化过程x?x0(或x??)中，如果f?x?为无穷大，则

11为无穷小；反之，如果f?x?为无穷小，且f?x??0，则为无穷大。 f?x?f?x?例2 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大？

1 ?2?y?2 ?3?y?lnx?1x ?4?y?2x ?1?y?x?1解

1(1) 因为lim?x?1??0，即x?1时，x?1为无穷小，所以为x?1时的无穷大；

x?1x?11?1?(2)因为lim?，即时，为无穷小，所以2x?1为x??时的无穷?0x???x??2x?12x?1??大；

(3)因为x???时lnx???，即limlnx???,x?0?时，lnx???，

x???lnx???，所以x???及x?0时，y?lnx都是无穷大； 即lim?x?0?(4)因为lim2?x?0,所以x???时2?x为无穷小，因此

x???1x?2为x???时的无?x2穷大。

4．函数、极限与无穷小的关系

定理2 limf(x)?A?f(x)?A??(x),其中?(x)是当x?x0时的无穷小.

x?x0注意：定理2在x?x0?。x?x0?，x??，x???，x???时仍然成立