华南理工大学 线性代数与解析几何 试卷(2)

《线性代数与解析几何》（A）试卷

（本卷共八大题，满分100分，考试时间：120分钟）

一、（10分）计算下列n阶行列式：

11)1?1yx2)?xxa1a1?a1xy?xxa2a2?a2x?xx?x???x?yx?x??ananan;1a1?b1a2?b2????an?bnxx?xy二、（12分）求解下列非齐次线性方程组：

?x1? 3x2?3x3?2x4? x5?3?2x?6x?x?3x ?2?1234 ?x1?3x2?2x3?x4?x5??1?

??3x1?9x2?4x3?5x4?x5?5

三、（12分）设向量 ? 可被向量组?1, ?2, …, ?r线性表示， 证明：（1）向量 ?r不能被?1, ?2, …, ?r-1线性表示； （2）向量 ?r 能被?1, ?2, …, ?r-1, ?线性表示。

四、（12分）求过点(1,1,1) 且垂直于平面 x –y + z = 7 和 3x + 2y - 12z + 5 = 0

的平面方程。

五、（20分）设实对称矩阵

2?2??2??A??25?4???2?45???（1） 求A-1；

（2） 求一个正交矩阵P，使得 P-1AP为对角形。

六、（14分）当 ?为何值时，线性方程组

有唯一解？无解？无穷多个解？有解时求出解。

七、（8分）设A、B均为n?n对称矩阵，证明：AB是对称阵的

充分必要条件是AB = BA.

?(2??)x1?2x2?2x3?1??2x1 ?(5??)x2?4x3?2??2x?4x?(5??)x???1123?f ??，并将它化为标准形；判断它是正定x2?x3?2x1x2?4x2x3 八、（12分）写出二次型 x 1 , x 2 , x的矩阵3??x1A

222二次型还是负定二次型？二次型f的秩等于多少？