标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2：第二章 2.2 数学归纳法

数学归纳法

预习课本P92～95，思考并完成下列问题 (1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？

(2)数学归纳法的证题步骤是什么？

[新知初探]

1．数学归纳法的定义

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．

2．数学归纳法的框图表示

[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础

数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命

题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．

(2)递推是关键

数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．

(3)利用假设是核心

在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√

2．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时须先证n＝________成立．

答案：2

11135

3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，

n23227

f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有______________．

2

n＋2

答案：f(2n)＞ 2

[典例] 用数学归纳法证明：

n?n＋1?n21222

＋＋…＋＝(n∈N*)． 1×33×5?2n－1??2n＋1?2?2n＋1?1×212[证明] (1)当n＝1时，＝成立．

1×32×3(2)假设当n＝k(n∈N*)时等式成立，即有

用数学归纳法证明等式

k?k＋1?k21222

＋＋…＋＝， 1×33×5?2k－1??2k＋1?2?2k＋1?k21222则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋

1×33×5?2k－1??2k＋1??k＋1?2k?k＋1??k＋1?2＝＋

?2k＋1??2k＋3?2?2k＋1??2k＋1??2k＋3?＝

?k＋1??k＋2?

，

2?2k＋3?

即当n＝k＋1时等式也成立．

由(1)(2)可得对于任意的n∈N*等式都成立．

用数学归纳法证明恒等式应注意的三点

用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．

[活学活用]

11111111

求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．

2342n2n－12nn＋1n＋211

证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，

22右边＝

11

＝，左边＝右边． 1＋12

1111111

(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋

2342k－12kk＋1k＋21

， 2k

则当n＝k＋1时，

?1－1＋1－1＋…＋1－1?＋?1－1?

2k－12k??2k＋12k＋2??234

11111

＝?k＋1＋k＋2＋…＋2k?＋?2k＋1－2k＋2? ????＝

1111

＋＋…＋＋. k＋2k＋32k＋12k＋2

即当n＝k＋1时，等式也成立．

综合(1)，(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.

用数学归纳法证明不 [典例] 已知n∈N*，n＞2， 等式

求证：1＋

111

＋＋…＋ ＞n＋1.

n23

11

＋，右边＝3＋1＝2，左边＞右边，不等式成23

[证明] (1)当n＝3时，左边＝1＋立．

(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，不等式成立， 即1＋111

＋＋…＋＞k＋1.

k23

当n＝k＋1时， 1＋＝

11111

＋＋…＋＋ ＞k＋1＋

k23k＋1k＋1

k＋1＋1k＋2

＝ . k＋1k＋1k＋2

k＋2

＞＝k＋2＝?k＋1?＋1， k＋1k＋21111

＋＋…＋＋ ＞?k＋1?＋1.

k23k＋1

因为

所以1＋

所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)，(2)知对一切n∈N*，n＞2，不等式恒成立． [一题多变]

1．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为： 11115＋＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)，如何证明？

3n6n＋1n＋2n＋3

11115

证明：(1)当n＝2时，＋＋＋＞，不等式成立．

34566(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立． 即

1115＋＋…＋＞.

3k6k＋1k＋2

1111111

＋＋…＋＋＋＋＝＋

3k3k＋13k＋23?k＋1?k＋1?k＋1?＋1?k＋1?＋2

则当n＝k＋1时，

111111511115

＋…＋＋＋＋－＞＋＋＋－＞＋

3k3k＋13k＋23k＋3k＋163k＋13k＋23k＋3k＋16k＋23×

115－＝. 3k＋3k＋16

所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)，(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立． 2．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为：