2007年中国地质大学博士计算方法考题

中国地质大学（北京）

2007年博士研究生入学考试专业科目试题

试题名称： 地球物理计算方法 编号: 120 (从以下试题中任选五道题解答，每题20分)

一、构造拉格朗日插值多项式p(x)逼近f(x)?x3，要求：

(1)取节点x0??1，x1?1作线性插值；

(2)取节点x0??1，x1?0，x2?1作抛物插值；

(3)取节点x0??1，x1?0，x2?1，x3?2作三次插值。 二、用最小二乘法解以下超定方程组：

?2x?4y?11?3x?5y?3? ?x?2y?6???2x?y?7三、设一定积分为?21xdx，试用梯形求积公式、抛物线求积公式和Newton-Cotes公式(取

n=4)进行数值计算，并与精确值比较。

四、用欧拉方法求解初值问题y'?ax?b,y(0)?0：

(1)试导出近似解yn的显式表达式； (2)证明整体截断误差为y(xn)?yn?1anh2 23五、对于任意非奇异矩阵A，cond(A)?1。试证明之。

六、阐述迭代法求解非线性方程的基本思想，并用它求方程f(x)?x?3x?1?0在

x0?2附近的实根，精确到四位有效数字。

七、论述数值计算方法在地球物理中的重要性。

数值计算是计算地球物理的基础．从地球物理的计算角度看主要分为正演和反演计算，而两者都是以数值计算为基础的，例如：重力，磁法数据的规格化过程：重磁数据采集都是在空间散乱点上进行的，而后期处理比如延拓以及求导等的运算都要求均匀网格数据，而此时数据的网格化就要应用数值计算中最常用的插值理论．再例如地震波正演和反演的基础是常系数甚至是变系数微分方程，而求解微分方程的数值算法也是数值计算的核心内容之一，函数的近似，有限差分等等，在波动方程求解的过程中起到了重要的作用．另外，我们经常要用到测量的数据进行参数反演，而此时求解超定以及欠定方程组都要用到数值计算的中的最小二乘法以及最简单解法，求解方程时候也经常用到线性化，奇异值分解等等算法，而地球物理学家也根据这些算法本身的性质发展了灵活的地球物理数据处理方法，比如奇异值分解的地震资料去噪技术．总之，一部地球物理正反演的教材也同时就是一本数值计算在地球物理方面的应用教材．

命题组长： 命题组成员：

2007年4月8日