经典直线方程练习题及答案

故所求的直线方程为： x+4y-4=0； 【解题思路2】：设出l,l1的交点A坐标（x1,y1），通过中点坐标公式求出l与l2的交点B的坐标，然后分别将A,B两点的坐标带入直线l1， l2的方程,联立方程组进行求解; 解析2：设直线l与已知l1， l2的交点A（x1,y1）,B（x2,y2） ∵P是AB的中点

{∴

x1?x2?02y1?y2?12,即{y2?2?1y2x??x1,带入l的方程的，

2得（-x1）-3(2-y1)+10=0,即x1-3y1-4=0

x1?3y1?4?0联立2x1?y1?8?0解得A(4,0)

{故所求的直线方程为：y?0?x?4，即x+4y-4=0.

1?00?4【名师指引】（1）解法1思路明显,但运算量较大,解法2使用“设而不求” 减少了运算量 （2）中点弦问题和两条曲线关于某点对称的问题，都可以考虑运用解法2中的“设而不求” 【新题导练】

7.已知点A（3，4）

（1）经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为： ； （2）经过点A且与两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程为 ： （3）经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为： ； （4）经过点A且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程为： ； [解析]（1）4x－3y＝0或x＋y－7＝0

[当直线经过原点时，方程为4x－3y＝0，当直线不经过原点时，设方程为点A的坐标得直线方程x＋y－7＝0]

（2）2x－y－2＝0或8x－9y＋12＝0；[设直线方程为得a,b的值]

（3）x－y＋1＝0或x＋y－7＝0；[斜率为1或-1，由点斜式易得]

（4）x＋2y－11＝0或4x－3y＝0；[当直线经过原点时，方程为4x－3y＝0，当直线不经过

xy??1，代入aaxy34??1，由??1和|ab|?2求ababxy34??1，由??1和a?2b求得a,b的值] abab8.已知直线l经过点P(1,4),分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，其中O为原点，求 △AOB的面积最小时，直线l的方程； [解析] 设直线l的方程为y?4?k(x?1),

44令x?0,得y?4?k,令y?0,得x?1?,?A(1?,0),B(0,4?k),

kk114116?S?AOB?|OA|?|OB|?|(1?)(4?k)|?|8?(?k)?(?)|?8,

22k2k16当且仅当k?，即k=±4时等号成立，但k<0,故直线l的方程为：4x?y?8?0

k原点时，设直线方程为

考点3 对称问题

题型1：求点关于某直线的对称点或求两点的对称直线方程 [例5 ] [例5 ]已知直线l:2x-3y+1=0,点A（-1，-2），求：

- 5 -

（1）点A关于直线l的对称点A'的坐标；

（2）直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'方程； （3）直线l关于点A(-1，-2)对称的直线l'的方程； 【解题思路】：求对称直线的方程，方法1是转化为点对称问题，二是用相关点转移法解决； [解析]（1）设点A关于l的对称点是A'(x,y)，

?y?22???1??x?13 ???2?x?1?3y?2?1?0?22?33?x???334?13解得??A'(?,)

1313?y?4?13?（2）设点P'(x',y')是直线m上任意一点，P'(x',y')关于直线l的对称点为P(x,y)

5x?12y?4??y?y'2x'????1????x?x'313解得：? ??12x?5y?6x?x'y?y'?y'??2??3?1?0??13?22?5x?12y?412x?5y?6?P'(x',y')在直线l上， ?3?2?6?0

1313化简得：9x?46y?102?0

（3）设点Q'(a,b)是直线l上任意一点，点Q'(a,b)关于点A(-1，-2)的对称点为Q(x,y)， ?a?x??1??a??2?x?2则?，解得?

?b??4?y?b?y??2??2因点Q'(a,b)在直线l上，2(?2?x)?3(?4?y)?1?0， 化简得：2x?3y?9?0

【名师指引】（1）要抓住两点关于直线对称的特征来列式；

（2）点对称是其它对称问题（曲线的对称等）的基础，务必重点掌握； 题型2：利用对称知识解决有关问题

[例6 ] [2008·深一模] 如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是

A．210

B．6

C．33

D．25 - 6 -

M CN D

【解题思路】：利用对称知识，将折线PMN的长度转化为折线CNMD的长度

[解析] 设点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(?2,0)，则光线所经过的路程PMN的长?PM?MN?NP?DM?MN?NC?CD?210 【名师指引】本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化，一般地，在已知直线上求一点到两个定点的距离之和的最小值，需利用对称将两条折线由同侧化为异侧，在已知直线上求一点到两个定点的距离之差的最大值，需利用对称，将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化。 【新题导练】

9.（2006中山）将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与点（-2，0）重合，且点（2003，2004）与点（m,n）重合，那么n-m= ;

[解析] 1. 点（0，2）与点（-2，0）的连线平行于点（2003，2004）与点（m,n）的连线

22(x?1)?(y?4)?1关于直线y=x对称的圆是（ ） 10. （2007汕头）圆

A． (x-1)+(y+4) =1 B．(x-4)+(y+1) =1

2222

C． (x+4)+(y-1) =1 D． (x-1)+(y-4) =1

[解析]B. 点（-1，4）关于直线y=x对称的点为（4，-1）

11.若点P（a，b）与Q（b-1，a+1）关于直线?对称，则?的方程为 [解析]x?y?1?0.

直线?斜率为-1，经过PQ的中点(2222

a?b?1a?b?1,)，方程为x?y?1?0 2212. 已知A、B为x轴上不同的两点，点P的横坐标为1，且PA?PB，若直线PA的方程为x?y?1?0，则直线PB的方程为

A.x?y?3?0 B.x?3y?7?0 C.x?y?5?0 D.2y?x?3?0 解析: A. 直线PA、PB关于直线x?1对称，P(1,2)

13. 入射光线沿直线x?2y?c?0射向直线l:x?y?0，被直线l反射后的光线所在的直线方程为（ ）

- 7 -

A. 2x?y?c?0 B. 2x?y?c?0 C. 2x?y?c?0 D. 2x?y?c?0 解析:B

在入射光线上取点(0,?)，它关于直线l的对称点为(,0)，可排除A.C 在入射光线上取点(?c,0)，它关于直线l的对称点为(0,c)，可排除D

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基础巩固训练

1. 已知0?a?1，则直线l:y?(2?1)x?logaa(1?a)不经过

A．第1象限 B．第2象限 C．第3象限 D．第4象限 解析：?0?a?1?2?2?0,logaa(1?a)?0?直线l不经过第3象限

2. 函数y=asinx-bcosx的一条对称轴为x?A．45

0

?4,那么直线：ax-by+c=0的倾斜角为（ ）

0

B．60

0

C．120 D．135

0

[解析]由函数y=f(x)=asinx-bcosx的一条对称轴为x=斜角是135，因此答案是D；

0

??,知，f(0)=f( ),所以-b=a,故倾443. （江苏盐城市三星级高中2009届第一协作片联考）函数y?loga(x?3)－1（a?0,a?1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则[解析] 8. 函数y?loga(x?3)－1图象恒过定点A(-2,-1),

12?的最小值为 mn??2m?n?1?0?2m?n?1,?n4m即n??2m时取等号, ?mn1212n4m??(?)(2m?n)?4???8,当且仅当mnmnmn4.（2007东莞）直线l经过A(2,1)，B(1,m)两点(m?R)，那么直线l的倾斜角的取值范围是( )

A．[0,?) B.[0,2?]?[,?) C.[0,] D.[0,]?(,?)

42442????2【解析】D. 因为kAB?1?m≤1

?x?y?1?01?5. 如果实数x、y满足条件?y?1?0 ，那么4x()y的最大值为

2?x?y?1?0?- 8 -