2014年福建省泉州市中考数学试题（含答案）

②裁剪

当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论； （2）折叠

请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．

考点：四 边形综合题 分析：（ 1）①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，②根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值． （2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1． 解答：解 ：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DECF是平行四边形． ②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H， ∵∠ACB=45°，AC=24cm ∴AG==12， 设DF=EC=x，平行四边形的高为h， 则AH=12∵DF∥BC， ∴=∵BC=20cm， 即：∴x=∵S=xh=x?∴﹣=﹣= ×20， ×20=20h﹣=6， h． 2h， ， ∵AH=12

， 13

∴AF=FC， ∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大． （2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1． 理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 点评：本 题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论． 26．（14分）（2014?泉州）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．

（1）求该反比例函数的关系式； （2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′； ①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值； ②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．

考点：反 比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义 专题：压 轴题；探究型． 分析： （1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可． （2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C的值． ②由于BC=2，sin∠BMC=，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．

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解答： 解：（1）设反比例函数的关系式y=． ∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上， ∴k=2×1=2． ∴反比例函数的关系式y=． （2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．当x=0时，y=0+3=3， 则点B的坐标为（0，3）．OB=3． 当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3， 则点A的坐标为（3，0），OA=3． ∵点A关于y轴的对称点为A′， ∴OA′=OA=3． ∵PC⊥y轴，点P（2，1）， ∴OC=1，PC=2． ∴BC=2． ∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1， ∴A′B=3，A′C=． ∴△A′BC的周长为3++2． ∵S△ABC=BC?A′O=A′B?CD， ∴BC?A′O=A′B?CD． ∴2×3=3×CD． ∴CD=． ∵CD⊥A′B， [来源学§科§网][来源学科网ZXXK] ∴sin∠BA′C=== ． ∴△A′BC的周长为3++2，sin∠BA′C的值为． ②当1＜m＜2时， 作经过点B、C且半径为m的⊙E， 连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP， 过点E作EG⊥OB，垂足为G， 过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示． ∵CP是⊙E的直径， ∴∠PBC=90°． ∴sin∠BPC===． 15

∵sin∠BMC=， ∴∠BMC=∠BPC． ∴点M在⊙E上． ∵点M在x轴上 ∴点M是⊙E与x轴的交点． ∵EG⊥BC， ∴BG=GC=1． ∴OG=2． ∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°， ∴四边形OGEH是矩形． ∴EH=OG=2，EG=OH． ∵1＜m＜2， ∴EH＞EC． ∴⊙E与x轴相离． ∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=． ②当m=2时，EH=EC． ∴⊙E与x轴相切． Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示． ∴点M与点H重合． ∵EG⊥OG，GC=1，EC=m， ∴EG= =． ∴OM=OH=EG=． ∴点M的坐标为（，0）． Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时， 同理可得：点M的坐标为（﹣，0）． ③当m＞2时，EH＜EC． ∴⊙E与x轴相交． Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时， 设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示． ∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2， ∴MH=== ． ∵EH⊥MM′， ∴MH=M′H． ∴M′H═． 16