一元二次方程知识点复习

一元二次方程知识点复习

知识点归类

(一)一元二次方程模型

知识点一 一元二次方程的定义:如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。③未知数的最高次数是2. 同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。 例1 下列关于的方程，哪些是一元二次方程？

⑴；⑵；（3）；（4）

（

；（5）

知识点二 一元二次方程的一般形式为）;其中a，b，c分别叫做二次项系数、一

次项系数、常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如

不一定是一元二次方程，当且仅当

时是一元二次方程。

例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）； （2）； （3）

是一元二次方程时，则

例3 已知关于的方程

知识点三 一元二次方程的解: 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，

知识点四 建立一元二次方程模型 建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。 注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。 例4 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少？（只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。）

鸡场 （二）因式分解法、直接开平方法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积；（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公因式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例5 用因式分解法解下列方程： （1）

； （2）

； （3）

。

知识点二 直接开平方法解一元二次方程 若

,则

叫做a的平方根，表示为

,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方

法。

例 6 用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）

； （2）

； （3）

知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程 形如

的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。

例7 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。 （1）

知识点四 十字相乘法 例 8 解下列方程：（1）（三）配方法 知识点一 配方法

例9 用配方法解下列方程：（1）

； （2）

； （2）

； （2）

知识点 二 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1）在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数； （2）把原方程变为（3）若

的形式。

的值，若n﹤0，原方程无解。

（2）

，用直接开平方法求出

例10解下列方程：（1）

知识点三 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程先把二次项的系数化为1 例11 用配方法解下列方程： （1）

； （2）

（四）求根公式法

知识点一 一元二次方程的求根公式是： 用求根公式法解一元二次方程的步骤是： （1）把方程化为（3）若

，则

把及

的形式，确定的值

（注意符号）；（2）求出

。

的值；

的值代人求根公式，求出

例12 用公式法解下列方程 （1）

； （2）

； （3）

知识点二 选择适合的方法解一元二次方程

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。 例13 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）

；（2）

；（3）

知识点三 一元二次方程根的判别式 一元二次方程

一元二次方程的根的情况：（1）△=（2） △=

=0

根的判别式 △=

﹥0

运用根的判别式，不解方程，就可以判定

方程有两个不相等的实数根；

﹤0

方程没有实数根；

方程有两个相等的实数根；（3）△=

例 14 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况： 1.（1）2.

为何值时，方程

；（2）

；（3）

的根满足下列情况：

（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根；

知识点五 一元二次方程的根与系数的关系

若是一元二次方程

的两根为

的两个根，则有，

例15、已知方程（1）

，不解方程，求下列各式的值。 。

； （2）

知识点六 根据代数式的关系列一元二次方程：利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。 例16、当取什么值时，代数式

与代数式

的值相等？

一元二次方程的应用

知识点一 列一元二次方程解应用题的步骤(1)审题(2)设未知数(3)列方程(4)解方程(5)检验(6)作答 关键点：找出题中的等量关系。

知识点二 用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题 增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率为，则一次增长后的值为 ，两次增长后的值为 ；（2）若基数为a，降低率为，则一次降低后的值为 ，两次降低后的值为 。

例17 某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为，列出关于的方程

为

知识点三 用一元二次方程解与市场经济有关的问题

与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；（3）销售额=售价×销售量 例 18某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。 （1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。

（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。