浙江省宁波市八校2013-2014学年高二上学期期末联考数学理试卷Word版含答案

过直线a作平面?，使?与?相交，设交线为c,…10分 因为a∥?，所以a∥c，①…………………………12分 因为b??，c??，所以b?c,② ………………13分 由①、②知，b?a，即a?b.………………………14分

（证明命题3的参照评分）

19. （Ⅰ）过A1作A1H?平面ABC，垂足为H，过H作HD?AB于D,连A1D,则A1D?AB,

F A1 作HF?AC于F,连A1F，则A1F?AC，

所以Rt?A1AD?Rt?A1AF，

AD?AF，所以Rt?ADH?Rt?AFH，从而H在?CAB平

，

分线上，…………………………………………………………2分 由于?ABC为正三角形，所以 BC?AH，所以BC?AA1.……………………………………………………3分 在Rt?A1AD中，计算得A1D=AD=1,在Rt?ADH中,计算得

A

F H D B

E

又?A1AB??A1AC?45oB1 C

C1

DH?36,在Rt?A1DH中,计算得A1H?, 33棱柱的表面积S?2S?ABC?2SABB1A1?SBCC1B1?体积V?S?ABC.A1H?3?2?2，……………………5分 2362. ………………………………………7分 ??434111（Ⅱ）因为EF?EA?AF??(AB?AC)?AA1?AC?AA1?AB，

2222221125所以EF?A1A?AB?AA1?AB?2??2?1??，

44245解得|EF|?， ………………………………………………………………………10分

21123又EF?AA1?(AA1?AB)?AA1?2??1?2??，

2222EF?AA1310所以cos??， ………………………………………………13分 ?10|EF|?|AA1|即异面直线AA1与EF所成角的余弦值. ………………………………………………14分 20.（本题满分14分）

（Ⅰ）设P(x,y)则由题设知PM?2PN，即(x?2)2?y2?2(x?1)2?y2， 化简得，(x?2)?y?4，即为所求的P点的轨迹方程. ………………………5分

（Ⅱ）易知直线AB斜率存在且不为零，设直线AB方程为y?k(x?2)(k?0)

22?y?k(x?2)2222由?消去y得，(1?k)x?4(k?1)x?4k?0， 22?(x?2)?y?4122222由??16(k?1)?16k(1?k)?16(1?3k)?0得，解得k2?，

31. ……………………………………………………………………8分 3?4(1?k2)x?x2???11?k2， 设A(x1,y1)B(x2,y2)，则?24k?x1x2??1?k2?1S?OAB?|S?OMB?S?OMA|??2y1?y2?kx1?x2?k(x1?x2)2?4x1x2，

2所以0?k2?k2(1?3k2)?3(k2?1)2?7(k2?1)?4， …………………………11分 ?4?42222(1?k)(1?k)13令t?2，考察函数f(t)??4t2?7t?3，t?(,1)，

4k?171177时取等号，此时f(t)??4t2?7t?3??4(t?)2??，当t?，即k??7881616Smax?1,即?OAB的面积的最大值为1. ………………………………………14分

21.（本题满分15分）

（Ⅰ）因为BC∥AD,BC?平面ADE，所以BC∥平面ADE，

同理CF∥平面ADE，又因为BCICF?C,所以平面BCF∥平面ADE,

而BF?平面BCF，所以BF∥平面ADE. ………………………………………5分 （Ⅱ）因为CD?AD,CD?DE所以?ADE就是二面角A?CD?F的平面角，为

60o， ……………………………………………………………………………………6分 又AD?DE?D，所以CD?平面ADE，平面CDEF?平面ADE,

作AO?DE于O，则AO?平面CDEF,…………7分 Z A 连结CE，在?CEF中由余弦定理求得CE?32，

o易求得，?ECF?45，CD?DE?3，OD?1，OE?2. ……………………………………………8分

B 以O为原点,以平行于DC的直线为x轴，以直线DE为

y轴，建立如图空间直角坐标系O?xyz，

则A(0,0,3)B(3,0,3),C(3,?1,0),

D O E y E(0,2,0),F(3,5,0), 设G(3,t,0),?1?t?5， uuruuur则BE?(?3,2,?3),BG?(0,t,?3)，

设平面BEG的一个法向量为，m?(x,y,z)，

C G x F

????3x?2y?3z?0?m?BE?0则由 ?得，?，

???m?BG?0?ty?3z?0 ?x?2?t?取?y?3 得, m?(2?t,3,3t), …………………………………………10分 ??z?3t平面DEG的一个法向量n?(0,0,1), …………………………………………11分

所以，cos?m,n??(2?t,3,3t)?(0,0,1)4t?4t?132?3t4t?4t?133t2, ………12分

为使锐二面角B?EG?D的余弦值为解得t?11，只需?， 44t2?4t?1341CG1，此时?, …………………………………………………13分 2CF4即所求的点G为线段CF的靠近C端的四分之一分点. …………………………14分

22.（本题满分15分） （Ⅰ）设椭圆方程为

xy?a2b222?c22???a?6 ?1(a?b?0)由?2a222?2?c?a?b??b?3?4?1?1?c2?3?22?ab?x2y2所以椭圆方程为??1． …………………………………………………3分

63设直线AP方程为y?k(x?2)?1，则直线BP的方程为y??k(x?2)?1(k?0)，

8k2?8k?44k2?4k?24k2?4k?2， ?xP?2且xAxP??xA?同理xB?1?2k21?2k21?2k2yB?yA4k?k(xB?xA)4k(1?2k2)?k(8k2?4)?kAB????1.…………6分

xB?xAxB?xA8k另解：设直线AB方程为y?kx?m(2k?m?1), ?y?kx?m?222由?x2消去y得,(1?2k)x?4kmx?2m?6?0， y2??1?3?6?4km?x?x?2?11?2k2， 设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则??2?x1x2?2m?6?1?2k2?因为直线PA、PB的倾斜角互补，所以kPA?kPB?0，y1?1?y2?1?0，

x1?2x2?2(kx1?m?1)(x2?2)?(kx2?m?1)(x1?2)?0，

2kx1x2?(m?2k?1)(x1?x2)?4?4m?0，(k?1)(2k?m?1)?0，解得k?1. 所以直线AB的斜率为一定值.

（参照上一解法评分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可设直线AB方程为y?x?m，则Q(0,m)，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则

由3QA?QB?0得3x1?x2?0.

?4m?y?x?m?x?x??222?1由?x2y2得3x?4mx?2m?6?0，?3, ?2??1??x1x2?2m?63?6??3解得m?1，所以直线AB方程为y?x?1. …………………………………10分 （Ⅲ）设M(x3,y3)、N(x4,y4)为椭圆上关于直线AB对称的两点，则

y3?y4??1

x3?x4设MN中点为D(x0,y0),则x3?x4?2x0,y3?y4?2y0, kMN?22?x3y3?1(x3?x4)(x3?x4)(y3?y4)(y3?y4)??63??0，x0?2y0 由?得?2263?x4?y4?1?3?6又y0?x0?m,,所以x0??2m,y0??m

22x0y04m2m2由点D(x0,y0)在椭圆内知，??1，??1，解得?1?m?1，

6363即为直线AB在y轴上截距的取值范围. ………………………………………15分