弹性力学平面问题的有限元法 - 图文

把单元的节点坐标分别代入式(2-9)，其左端的值应等于相应的节点位移，即有：

ui??1??2xi??3yivi??4??5xi??6yi(,i(,i,j,j (2-10),(2-11)

m)m)解方程组(2-10)，可求得待定常数a1、a2、a3： 式中 ?1?12Auixiyiujxjyjumxmym,?2?12A1uiyi1ujyj,?3?1umym12A1xiui1xmyi1xjuj,2A?1xjyj1xmum1xmym (2-12),(2-13)

显然，为了使式(2-13)中三角形单元面积A不为负值，单元节点局部编号i、j、m的次序必须逆时针转向。将式(2-12)中的ui、uj、um。换为vi、vj、vm，即是方程组(2-11)的解a4、a5、a6。把这样得到的常数a1、?、a6，代回式(2-9)中，加以整理，就得到由节点位移表达单元内任一点位移的插值公式，即位移模式的另一形式：

式中

12A11xxjxmyyj?ym12A(ai?bix?ciy) u?Niu?Njuj?iv?Niv?Njvj?iNm??um? Nm?vm? (2-14)

Ni? (2-15)

ai?xjxm11yjymyjymxjxm?xjym?xmyj (2-16)

bi??11?yj?ym ci???(xj?xm)

由式（2-14）可见，函数Ni（x，y）是节点i处ui=1或vi=1而另两节点位移为

零时，单元内部各点处的位移u(x，y)和v（x，y）的分布形态；同理，可用来理解Nj、Nm，故称Ni、Nj、Nm为单元的形态函数，简称为形函数。通常把式（2-14）写成矩阵形式：

?f??u??Ni0Ni0Nm0?ee ???????N????????0N0N0Nvijm???? (2-17)

式中，[N]称为形函数矩阵： ?N????0二、形函数的性质

由式（2-13）和式（2-15），根据行列式的性质，可证明形函数有两个基本性质：

1）形函数Ni在节点i处的值为1，在其余节点处之值为零，即

?1,当j?i时Ni(xj,yj)??（i,j?i,j,m) (2-19)

?0,当j?i时?Ni0Ni0Nm0?? Ni0Nj0Nm? (2-18)

注意，式（2-19）代表了9个等式。

2）在单元内任一点的三个形函数之和等于1，即 Ni?Nj?Nm?1

由于形函数是x、y的线性函数，在单元内各点处的变化规律用几何图形直观表示时，各为一斜平面，在各边上为直线，如图2-7所示。由此图容易看出，三角形单元的形函数还有以下性质：

3）在单元某一边上的形函数与第三个顶点的坐标无关。例如在ij边上 Nm(x,y)?0

Ni(x,y)?(xj?x)/(xj?xi)?(yj?y)/(yj?yi) Nj(x,y)?(x?xi)/(xj?xi)?(y?yi)/(yj?yi)

4）形函数在单元面积A上的二重积分之值，等于高为1、底为A的三角锥的体积，即：

图2-7

??NAi(x,y)dx?dy/A3(,i,jm)?(2

5）形函数沿单元某一边的定积分之值，等于高为1、以该边为底的直角三角形的面积。例如，Ni沿ij和im边的积分为：

?Niji(x,y)ds?ij/2,?Nimi(x,y)ds?im/2

三、解答的收敛性

为了使得当单元划分得越来越小时，所得解答能收敛于精确解，所设单元位移模式应满足一定的条件。

1)必须包含单元的常量应变。在一般情况下，单元中的应变包含着常量应变和变量应变。常量应变与单元中各点的位置无关，变量应变与单元中各点的位置有关。当单元的尺寸被分割得越来越小时，单元中各点的应变就会趋近于常量。可见，常量应变是单元应变的主要部分。为了正确反映单元的变形状态，所设单元位移模式必须包含单元的常量应变。

把式(2-9)代入几何方程(2-5)中，得：

?x??u/?x??2,?y??v/?y??6???xy??u/?y??v/?x??3??5???

这就证明线性位移模式(2-9)中包含了单元的常量应变。

2)必须包含单元的刚体位移。在一般情况下，单元的位移包含着由本单元变

形引起的变形位移和与本单元变形无关的刚体位移。例如，大家所熟悉的悬臂梁，在靠近自由端附近处，弯矩小、应力小、变形也很小，但位移却比弯矩大的固定端附近的位移大得多，如图2-8所示。显然，这是由于其它单元变形连带引起刚体位移的结果。由此可见，刚体位移往往是单元的主要位移。因此，所设位移模式必须包含这种位移。

式(2-9)中所包含的刚体位移，可通过单元不变形时的特殊情况来研究。此时

?x??y??xy?0,式(2-23)可知，

?2??6?0,?3???,代5入得单元的刚体位移分量为： u??1??5y??v??4??5x?

在以上两式中，?1、?4不随点的坐标变化，它们分别代表了单元沿x和y方向的刚体平动位移。当?1??4?0时，u???5y，v??5x，点的合成位移为： u合?u2?v2?(??5y)2?(?5x)2??5x2?y2??5R u合的方向如图2-9所示。它与y向的夹角为?，则

tg???5y/?5x?y/x?tg?

由此可见,???, u合的方向与矢径R垂直,且u合的大小等于a5乘R，这表明a5，代表单元绕z轴的刚体转动角位移。

图2-9

在一般情况下，?1,?4,?5都不为零时，单元既有刚体平动位移，又有刚体转动位移。

3)要求位移在单元内部连续，在相邻单元公共边界上协调。后一要求意味着变形后相邻单元(见图2-10a)在公共边界处不会裂开或重叠(见图2-10b、c)。