比较法

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课 题： 不等式的证明方法（比较法）

目的要求： 掌握证明不等式的基本的解法之----比较法。 重点难点： 掌握作差比较和作商比较各自的使用情景 教学设计： 一、引入：

要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 二、范例分析：

例1、设a?b，求证：a2?3b2?2b(a?b)。

例2、若实数x?1，求证：3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2. 证明：采用差值比较法：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2

=3?3x2?3x4?1?x2?x4?2x?2x2?2x3 =2(x4?x3?x?1)

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=2(x?1)2(x2?x?1) =2(x?1)2[(x?1)2?3].

2413?x?1,从而(x?1)2?0,且(x?)2??0,

24∴ 2(x?1)2[(x?1)2?3]?0,

24∴

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.

讨论：若题设中去掉x?1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

例3、已知a,b?R?,求证aabb?abba.

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设a?b?0.

?a?b?0?aabb?abba?abbb(aa?b?ba?b)?0，从而原不等式得

证。

2）商值比较法：设a?b?0,

a??1,a?b?0,b

aabba?ba?()a?b?1.bab故原不等式得

证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

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例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m?n，问甲、乙两人谁先到达指定地点。

分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2。要回答题目中的问题，只要比较t1,t2的大小就可以了。

解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，根据题意有t1m?t1n?S，

22SS2S??t2，可得t1?，t2?S(m?n)， 2m2nm?n2mn2SS(m?n)S[4mn?(m?n)2]S(m?n)2?从而t1?t2?， ???m?n2mn2(m?n)mn2(m?n)mn其中S,m,n都是正数，且m?n。于是t1?t2?0，即t1?t2。 从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：如果m?n，甲、乙两人谁先到达指定地点？ 例5、设f(x)?2x2?1,pq?0,p?q?1.求证；对任意实数a,b，恒有

pf(a)?qf(b)?f(pa?qb).

（1）

证明 考虑（1）式两边的差。

pf(a)?qf(b)?f(pa?qb).

＝p(2a2?1)?q(2b2?1)?[2(pa?qb)2?1]

＝2p(1?p)a2?2q(1?q)b2?4pqab?p?q?1. （2）