常见数列通项公式的求法（超好）

常见数列通项公式的求法

1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

2例1．等差数列?an?是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，S5?a5．求数列

3?an?的通项公式.an=n

5S,(n?1)2.公式法：已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：an?S1?S,(n?2)。

nn?1?例2：已知数列{an}的前解：（1）当n=1时，a1n项和sn，sn?n2?1求{an}的通项公式。

?s1?0，当n?2时 an?sn?sn?1?(n2?1)?[(n?1)2?1]?2n?1

由于a1不适合于此等式 。 ∴an(n?1)?0?? ?2n?1(n?2)31n-1

练习：数列{an}满足an =5Sn－3，求an。 答案：an= （－ ）

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3.累加法：

若an?1?an?f(n)求an：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1(n?2)。 例3：（1）数列{an}满足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2），求an。

1

（2）数列{an}满足a1=1且an=an－1+2n （n≥2），求an。

解：（1）由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－2，记f（n）=3n－2= an－an－1 则an= （an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1 =f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1

=（3n－2）+[3（n－1）－2]+ [3（n－2）－2]+ …+（3×2－2）+1

（n+2）（n－1）3n2－n

=3[n+（n－1）+（n－2）+…+2]－2（n－1）+1 =3× －2n+3=2 2

111

（2）由an=an－1+2n 知an－an－1=2n ，记f（n）=2n = an－an－1

则an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1 =f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1 111111=2n +n－1 +n－2 +…+22 +1=2 －2n

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3111a?a?a?a=- 练习：已知数列?an?满足1，n?1，求an。答案：nn22n2n?naaaa4.累乘法：已知n?1?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1???2?a1(n?2)。

anan?1an?2a1例4：在数列｛an｝中，a1=1, (n+1)·an?1=n·an，求an的表达式。 解：由(n+1)·an?1=n·an得

an?1n?， ann?1123n?111ana2a3a4a?所以an? =··…n=???nnna1a1a2a3an?12341

a1?练习： 已知数列?an?中，

答案：an1，前n项和Sn与an的关系是 Sn?n(2n?1)an ，试求通项公式an。 3=1.

(2n+1(2n-1)5.已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。

（1）形如an?kan?1?b、an?kan?1?b（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an。

n①an?kan?1?b解法：把原递推公式转化为：an?1?t?p(an?t)，其中t?换元法转化为等比数列求解。

例5. 已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an.

q，再利用1?p解：设递推公式an?1?2an?3可以转化为an?1?t?2(an?t)即an?1?2an?t?t??3.故递推公式为an?1?3?2(an?3),令bn?an?3，则b1?a1?3?4,且以?bn?是以b1?4为首项，2为公比的等比数列，则bn?4?2n?1bn?1an?1?3??2所bnan?3?2n?1,所以an?2n?1?3. a?1pan1n?1???②an?kan?1?bn解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q，得：nqn?1qqnqap1b?b?引入辅助数列?bn?（其中bn?n），得：再应用an?kan?1?b的方法解决.。 n?1nnqqq511n?1,an?1?an?()，求an。 63211n?12nn?1n?1解：在an?1?an?()两边乘以2得：2?an?1?(2?an)?1

32322nn令bn?2?an，则bn?1?bn?1,应用例7解法得：bn?3?2()

33b1n1n?3()?2() 所以an?nn232n练一练①已知a1?1,an?3an?1?2，求an；②已知a1?1,an?3an?1?2，求an；

例6. 已知数列?an?中，a1?（2）形如an?例7：an?an?1的递推数列都可以用倒数法求通项。

kan?1?ban?113?an?1?11?3?,a1?1解：取倒数：?

anan?1an?13?an?1?1?1?111?a???(n?1)?3?1?(n?1)?3是等差数列， ???n3n?2ana1?an?an练习： 已知数列｛an｝中a1?1且an?1?（n?N），求数列的通项公式。

an?1，

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常见数列求和公式及应用

1、公式求和法

n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n⑵等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?q⑴等差数列求和公式：Sn?另外，还有必要熟练掌握一些常见的数列的前n项和公式.正整数和公式有：

?k?k?1nn(n?1)；2?kk?1n2?n(n?1)(2n?1)6；

?kk?1n3?[n(n?1)2

]2?123n，求x?x?x?????x????的前n项和. log23?11?log3x??log32?x? 解：由log3x?log23211(1?n)nx(1?x)223n2＝1－1 由等比数列求和公式得 Sn?x?x?x?????x ＝＝

12n1?x1?2例1：已知log3x?2、倒序相加法

Sn?a1?a2?……?an?1?an??则2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?…

Sn?an?an?1?……?a2?a1?x2例2：已知f(x)?，则f(1)?f(2)?21?x2?1?f???f(3)??2??1?f???f(4)??3??1?f??? ?4??1???x2x21x??1??????1解：∵由f(x)?f???2222x1?x1?x1?x???1?1????x?

?1?1????1????1??1式?f(1)??f(2)?f?????f(3)?f?????f(4)?f?????1?1?1?32 ?2????3????4??2?11变式训练：如已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x)?f(1?x)?，Sn?f(0)?f()?

2n23n?2n?1*f()?f()+…?f()?f()?f(1) ，（n?N），求Sn nnnn3、裂项相消法

11?11?????；

(2n?1)(2n?1)2?2n?12n?1?11111?n?1?n； ?(?)；

n?n?1n(n?k)knn?k111,,???,,???的前n项和. 例3： 求数列

1?22?3n?n?1一些常见的裂项方法：

3

解：设an?1n?n?1111??????则 Sn?

1?22?3n?n?1 ＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)＝n?1?1 练习：已知an??n?1?n

212n??????，又bn?，求数列{bn}的前n项的和. n?1n?1n?1an?an?14、错位相减法设数列?an?的等比数列，数列?bn?是等差数列，则数列?anbn?的前n项和Sn求解，均可用错位相减法。

例4：求Sn?1?2x?3x?4x?……?nx23n?1

例5：设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1?b1?1，a3?b5?21，a5?b3?13（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列??an??的前n项和Sn． ?bn?4??1?2d?q?21，解：（Ⅰ）设?an?的公差为d，?bn?的公比为q，则依题意有q?0且? 2??1?4d?q?13，解得d?2，q?2．所以an?1?(n?1)d?2n?1，bn?qn?1?2n?1．

（Ⅱ）

352n?32n?1an2n?1?n?1．Sn?1?1?2???n?2?n?1，①

2222bn252n?32n?12Sn?2?3????n?3?n?2，②

2222222n?1②－①得Sn?2?2??2???n?2?n?1

22221n?12n?32n?11?2n?1?112?n?1?6?n?1． ?2?2??1??2???n?2??n?1?2?2?1222?2?221?22462n练习：3.求数列,2,3,???,n,???前n项的和.

2222小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列?cn?的公比q；②将两个等式相减；

1?③利用等比数列的前n项和的公式求和. 5、分组求和法

例6、已知数列?an?的通项公式为an?2?3n?1,求数列?an?的前n项和.

nSn?a1?a2??an??21?2???22?5????2n?3n?1?

21?2nn?2??3n?1???=2?2???2??2?5???3n?1??.= 1?22321n?1=2?n?n?2.

22练习：求和：2?5?3?6+4?7+……+n(n+3)

?12n???4