湖南省张家界市2014-2015学年高二上学期期末联考数学试题Word版含答案

2014-2015年度张家界市高中二年级第一学期期末考试

理科数学参考答案

一、选择题：ADBAB ACBDA

二、填空题：11、?x?R,x2?2x?2?0；12、26；13、2015；14、35；15、①②⑤.

5三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤, 把答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．案填在答题卷相应位置． ．．．．．．．．．．16、（本小题满分12分）

解：|m?1|?2??2?m?1?2??3?x?1 即命题p:?3?x?1

方程x2?2mx?1?0有实数根???(?2m)2?4?0

?m?1或m??1，即q:m?1或m??1 …………………………6分 因为?p为假命题，p?q为假命题 则p为真命题，所以q为假命题， ?q为真命题，?q：?1?m?1 ??3?x?1由???1?m?1

?1?m?1?即m的取值范围是：?1?m?1 …………………………12分

17、本小题满分12分） 解：（1）依题设可得a1?（2）猜想：an?111111，a2??，a3?1?1，a4?；.(4分） ??204?562?321?2123?41．……………………………………………………………（5分）

n(n?1)*证明：①当n?1时，猜想显然成立． ②假设n?k(k?N)时，猜想成立，

1即ak?． 那么，当n?k?1时，Sk?1?1?(k?1)ak?1，

k(k?1)k即Sk?ak?1?1?(k?1)ak?1． 又Sk?1?kak?，

k?1k?ak?1?1?(k?1)ak?1， 所以

k?111?从而ak?1?．

(k?1)(k?2)(k?1)[(k?1)?1]即n?k?1时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．（12分）

18、（本小题满分12分）

解：依题意得，F(x)??132?x1322(t?2t?8)dt?t?t?8t?x?x?8x，定义域是??0?03?3?x(0，??)．…………………………………………………………………………4分

2（1）F?(x)?x?2x?8, 令F?(x)?0，得x?2或x??4，

??)， 令F?(x)?0，得?4?x?2， 由于定义域是(0，??)，单调递减区间是(0，2)…………………………8分 ?函数的单调增区间是(2，（2）令F?(x)?0，得x?2(x??4舍)，

由于F(1)??2028，F(2)??，F(3)??6， 3328………………12分 3来源学科网?F(x)在[1，3]上的最大值是F(3)??6，最小值是F(2)??19、（本小题满分13分） 解：（1）证明：∵PA?平面ABCD，∴PB的射影是AB，PC的射影是AC，∵PB?PC∴AB?AC∴AB?AC?1，且BC?2， ∴?ABC是直角三角形，且?BAC?

?2，???????????3分

∴AC?AB，∵PA?平面ABCD，∴PA?AB，

且PA?AC?A，∴AC?平面PAB?????????????????????6分 （2）解法1：由（1）知AC?AB，且ABCD是平行四边形，可知AC?CD， 又∵PA?平面ABCD，由三垂线定理可知，PC?CD，

又∵PC?AC?C由二面角的平面角的定义可知，?PCA是平面PDC与底面ABCD所成二面角，故?PCA?从而AF??3，故在Rt?PAC中，AC?1，∴PA?3，PC?2，

11112PC?1,EF?PB?PC?1,又在Rt?ABC中，AE?BC?， 22222∴在等腰三角形?FAE，分别取AC中点N和AE中点M，连接FN，FM和MN， ∴中位线FN//PA，且PA?平面ABCD，∴FN?平面ABCD， 在?AEF中，中线FM?AE，由三垂线定理知，MN?AE， ?FMN为二面角F?AE?C的平面角，

来源学§科§网Z§X§X§K]在Rt?FMN中，FN? tan?FMN?1312，MN?EC?， PA?2224FN?6. MN∴二面角F?AE?C的正切值为6…………………………………………………13分

解法2：由(Ⅰ)知，以点A为坐标原点，以AB、AC、AP

所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设PA??，则A?0,0,0?，B?1,0,0?，C?0,1,0?，P?0,0,??， z P?11??1??D??1,1,0?，E?,,0?，F?0,,?，

?22??22?????????????则CP??0,?1,??，CD???1,0,0?，AP??0,0,??

??设平面PCD的一个法向量为n1??x1,y1,z1?,

??????n1?CD?0,?x1?0,得?,取n1??0,?,1? 则由?????n1?CP?0,?y1??z1????又AP是平面ABCD的一个法向量，

x?平面PDC与底面ABCD所成二面角为

3????????????AP?n1??cos?AP,n1??????cos，解得??3， ????3APn1??2?1FADB ECy

???设平面FAE的一个法向量为n2??x2,y2,z2?,

??????????n2?AE?0,?x2??y2,??则由???得?,取n2??3,3,1. ???????n2?CP?0,?y2??z2??????又AP是平面AEC的一个法向量，设二面角F?AE?C的平面角为?，则

??????????????AP?n23742，∴cos??7?sin??cos?AP?n2????????????tan??6

7773?7APn2∴二面角F?AE?C的正切值为6..…………………….…….…………………13分

20、（本小题满分13分）

M的轨迹为椭圆.且a?2,c?1， 解：（1）?MF1?MF2?4，?点x2y2b?3，?点M的轨迹方程是??1 …………………………………5分

43 （2）设过F2(1,0)的直线l的方程为x?my?1

?x?my?1?由?x2y2消去x，得(3m2?4)y2?6my?9?0…………………………7分

?1??3?4??(6m)2?4?9(3m2?4)?144(m2?1)

1设A(x1,y1),B(x2,y2)，则?ABF1的面积S?F1F2y1?y2?y1?y2

212m2?1……………………………………………………………………………9分 ?3m2?4

令m2?1?t(t?1)，则S?f(t)?'12t…………………………………………10分

3t2?1?36t2?12?f(t)??0，?函数f(t)是减函数，故当t?1，即m?0时，?ABF1的面积有22(3t?1)最大值，最大值为3.此时，直线l的方程为x?1.………………………………13分

21、（本小题满分13分）

解：（1）函数f?x?的定义域为(0,??)…………………………………………1分

1?2x?a…………………………3分 x1?函数f?x?在其定义域上为增函数，?f'?x??0即?2x?a?0对x?(0,??)恒成立。

x1??a??2x对x?(0,??)恒成立.………………………………………5分

x1112当x?0时，?2x?2时，取等号. ?2x?22,当且仅当?2x,即x?x2xx??a?22,即a??22,……………………………………………………………6分

11??lnxf(x)lnx'x?x?（2）当a?1时， g?x??，g?x??……………8分

(x?1)2x?1x?1?f?x?=lnx?x2?ax,a?R?f'?x?=?函数g?x?在区间[t,??)(t?N*)上存在极值，?方程g'(x)?0在[t,??)(t?N*)上有解，

1即方程1??lnx?0在[t,??)(t?N*)上有解………………………………10分

x111'令?(x)?1??lnx(x?0)，则?(x)??2??0，

xxx?函数?(x)在(0,??)上单调递减.

41e451e5?0，?(4)??ln4?ln?0………………12分 ??(3)??ln3?ln332744256?函数?(x)的零点x0?(3,4)。?方程?(x)?0在[t,??)(t?N*)上有解， ?t?3,故t的最大值为3……………………………………………………………13分

其他情况酌情给分