2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第27讲 数系的扩充与复数的引入（含解析）

第27讲 数系的扩充与复数的引入

考试说明 1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件.

2.了解复数的代数表示法及其几何意义;能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示,并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.

3.能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、相减的几何意义.

考情分析

考点 复数的概念 考查方向 概念的应用 2013全国卷Ⅰ2 2017全国卷Ⅲ2, 复数的几何意义 求复数对应的点的坐标、模等 2016全国卷Ⅱ1, ★★☆ 2015全国卷Ⅰ1, 2014全国卷Ⅱ2 2017全国卷Ⅱ1, 2016全国卷Ⅰ2, 复数的代数运算 求复数值、解复数方程等 2016全国卷Ⅲ2, ★★☆ 2015全国卷Ⅱ2, 2014全国卷Ⅰ2, 2013全国卷Ⅱ2

考例 2017全国卷Ⅰ3, ★★☆ 考查热度 真题再现

■ [2017-2013]课标全国真题再现 1.[2017·全国卷Ⅰ] 设有下面四个命题

p1:若复数z满足∈R,则z∈R; p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;

p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;

p4:若复数z∈R,则∈R.

其中的真命题为 ( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4

[解析] B 设z=a+bi(a,b∈R).=,若∈R,则b=0,此时z∈R,故命题p1为真命题;若z∈R,则b=0,此时

=a-bi∈R,命题p4为真命题;z2=a2-b2+2abi,z2∈R时,a=0或b=0,此时z为实数或纯虚数,命题p2为假命题.设z1=i,z2=4i,则z1z2∈R,但z1≠,命题p3为假命题.故选B.

2.[2017·全国卷Ⅱ] A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i

= ( )

[解析] D ===2-i.

3.[2017·全国卷Ⅲ] 设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|= ( )

A. B.

C. D.2

[解析] C 由题知z====i+1,则|z|==.

4.[2016·全国卷Ⅰ] 设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|= ( ) A.1 B.

C.

D.2

[解析] B 由已知得x+xi=1+yi,根据两复数相等的条件可得x=y=1,所以|x+yi|=|1+i|=.

5.[2016·全国卷Ⅱ] 已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 ( ) A.(-3,1)

B.(-1,3)

C.(1,+∞) D.(-∞,-3)

[解析] A 由题易知m+3>0,m-1<0,解得-3

6.[2016·全国卷Ⅲ] 若z=1+2i,则A.1 B.-1 C.i D.-i

= ( )

[解析] C ==i.

7.[2015·全国卷Ⅰ] 设复数z满足=i,则|z|= ( )

A.1 B.

C. D.2

[解析] A 由=i,得z==i,所以=1.

8.[2015·全国卷Ⅱ] 若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a= ( ) A.-1 C.1 D.2

[解析] B 因为(2+ai)(a-2i)=4a+(a-4)i=-4i,所以4a=0,且a-4=-4,解得a=0,故选B.

2

2

B.0

9.[2014·全国卷Ⅰ] A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i

= ( )

[解析] D ===-1-i.

10.[2014·全国卷Ⅱ] 设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2= ( ) A.-5

B.5

C.-4+i D.-4-i

[解析] A 由题知z2=-2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i-4=-5.

11.[2013·全国卷Ⅰ] 若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为 ( )

2

A.-4 B.-

C.4 D.

[解析] D z====+i,故z的虚部是.

12.[2013·全国卷Ⅱ] 设复数z满足(1-i)z=2i,则z= ( ) A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i

[解析] A (1-i)z=2i,则z==i(1+i)=-1+i.故选A. ■ [2017-2016]其他省份类似高考真题

1.[2017·北京卷] 若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞)

[解析] B (1-i)(a+i)=a+i-ai-i=a+1+(1-a)i,其对应的点为(a+1,1-a),因为复数对应的点在第二象限,

2

所以解得a<-1,故选B.

2.[2017·山东卷] 已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a= ( )

A.1或-1 B.

或-