数学建模模拟试题

乙（企业家）用于工业生产可收入200元，若租给某丙（旅店老板）开发旅游业可收入300元，当旅店老板请企业家参与经营时，收入达400元，为促成最高收入的实现，试用shapley值方法分配各人的所得。

5．标靶设计

掷飞镖是一种流行的游戏，一个圆形标靶被分成20个相等的扇形区域，在这些区域填有数字1 ~ 20 表示飞镖落在相应区域的得分，游戏规则是各选手轮流掷镖，每轮的得分从他的总分301中减去，首先恰好减至0分者获胜，试建立模型说明如何安排扇形区域的数字能增加掷镖的难度。

6．铁路列车时刻表问题

全国性的铁路网由几条干线和许多支线组成，编排完整的列车运行时刻表的工作量非常巨大，通常需要先单独编排每条干线上的列车运行时刻表。设已知某条干线上的站点分布、车速限制、车距限制、运行车次及每次车的停靠站点等数据，建立编排该干线上的列车运行时刻表的数学模型。

模拟题5 初等模型

1.用教材2.7节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论以下雇员与雇主之间的协议关系：

（1）以雇员一天的工作时间t和工资分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族示意图，解释曲线为什么是你画的那种形状。w

（2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率（单位时间的工资）画出计时工资线族。根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。

（3）雇员和雇主已经达成了一个协议（工资时间和工资）。如果雇主想使雇员的工作时间增加到，他有两种办法：一是提高计时工资率，在协议线的另一点达成新的协议；二是实行超时工资制，即对工时仍付原计时工资，对工时付给

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更高的超时工资。试用作图方法分析哪种办法对雇主更有利，指出这个结果的条件。1t1w2t22(,)tw1t2tt?

2.速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是vsρ。用量纲分析法确定风车获得的功率与Pvsρ，，关系。

3.在教材2.5节中考虑8人艇分重量级组（浆手体重不超过86kg）和轻量组（浆手体重不超过73kg），建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好百分之五。 简单的优化模型

1.在教材3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货量都比原来结果减少。

2.在教材3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。b

3.在教材3.6节消费者的选择模型中， （1） 证明若条件B成立，则条件A成立。

（2） 验证（3），（5），（7）式给出的效用函数是否满足条件B和A。 （3） 若消费者的效用函数为（7）式，求最优比例1122/pqpq，并分析参数

的意义。,ab

（4） 若商品甲的价格1p增加，其余条件不变，讨论消费者均衡状态的变化。 （5） 若消费者购买商品的钱s增加，其余条件不变，讨论消费者均衡状态

的变化。

微分方程模型

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1.在教材5.2节经济增长模型中，为了适用于不同的对象可将产量函数折算成现金，仍用表示。考虑到物价的上涨因素，我们记物价上涨指数为，则产品的表面价值，实际价值和物价指数之间满()Qt()Qt(),((0)1)ptp=()yt()Qt()pt足. ()()()ytQtpt=

(1)导出的相对增长率之间的关系，并作出解释。(),(),()ytQtpt (2)设雇佣工人数目为()Lt，每个工人工资为，企业的利润简化为从产品的收入中扣除工人工资和固定成本。利用道格拉斯生产函数讨论，企业应雇佣多少工人才能使利润最大。()wt()yt

2.在教材5.4节的房室模型中，证明方程（3）对应的齐次方程通解如（4），（5）式所示，说明方程的两个特征根αβ和一定是负数。

3.将教材5.8节得到的万有引力定律（18）式与熟知的形式（19）式进行比较。查询太阳质量、地球运行轨道（椭圆）的长半轴、引力常数等数据，说明二者是一致的。 规划模型

1.某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其它证券的收益需按50%的税率纳税。此外以下限制： （1） 政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2） 所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小,信用程度越高); （3） 所购证券的平均到期年限不超过5年;

证券名称 A B C D E

证券种类 市政 代办机构 政府 政府 市政 信用等级 2 2 1 1 5 到期年限 9 15 4 3 2 到期税前收益 4.3 5.4 5.0 4.4 4.5 7

模拟题6

一、（20?）

人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。

二、（20?）

雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式。

三、（30?）

要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a?1.5m（颈部以下），宽b?0.5m厚c?0.2m，设跑步距离

d?1000m,跑步最大速度vm?5m/s，雨速u?4m/s ，降雨量w?2cm/h，

记跑步速度为v，按以下步骤进行讨论；

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为?，如图1建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,?之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算??0,??300时的总淋雨量。

（3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为?，如图2建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,?之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算??300时的总淋雨量。

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