北师大版选修1-1 第2章3.1 双曲线及其标准方程 1

[基础达标]

1.双曲线方程为x－2y＝1，则它的右焦点坐标为( ) A．(2

，0) 26

，0) 2

B．(5

，0) 2

2

2

C．(D．(3，0)

2

2

y

解析：选C.将双曲线方程化为标准方程为x－＝1，

12162222

∴a＝1，b＝，∴c＝a＋b＝，

22故右焦点的坐标为(

6

，0)． 2

c3

2.已知双曲线C的右焦点为F(3，0)，＝，则C的标准方程是( )

a2xy

A.－＝1 45xy

C.－＝1 25

2

2

2

2

xy

B.－＝1 45xy

D.－＝1 25

2

2

2

2

2

2

2

2

22

xy

解析：选B.由题意可知c＝3，a＝2，b＝c－a＝3－2＝5，故双曲线的标准方程为－＝1.

45xy

3.若双曲线－＝1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是( )

412A．4 C．4或12

B．12 D．6

2

2

2

解析：选C.设P到左焦点的距离为r，c＝12＋4＝16，c＝4，a＝2，c－a＝2，则由双曲线定义|r－8|＝4，∴r＝4或r＝12，4，12∈[2，＋∞)，符合题意．

xy

4.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，

916则△PF1F2的面积等于( )

A．24 C．48

B．36 D．96

2

2

解析：选C.a＝3，b＝4，c＝5，|PF2|＝|F1F2|＝2c＝10， |PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋10＝16，

1

F2到PF1的距离为6，故S△PF1F2＝×6×16＝48.

2

5.已知F1，F2为双曲线x－y＝2的左，右焦点，点P在该双曲线上，且|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2

＝( )

1A. 43C. 4

3B. 54D. 5

2

2

22

?|PF1|＝2|PF2|xy

解析：选C.双曲线方程可化为－＝1，a＝b＝2，c＝2，由?，得|PF2|＝22，

22?|PF1|－|PF2|＝22

|PF1|＝42，又∵|F1F2|＝2c＝4，

|PF1|＋|PF2|－|F1F2|（42）＋（22）－43

在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝. 2|PF1||PF2|42×42×226.双曲线8kx－ky＝8的一个焦点为(0，3)，则k的值为________． 解析：依题意，双曲线方程可化为

81

－＝1，已知一个焦点为(0，3)，所以－－＝9，解得k＝81kk－－kky

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

2

－1.

答案：－1

xy

7.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6，0)，若顶点B在双曲线－＝1

2511sin A－sin C

的左支上，则＝________．

sin B

xy

解析：A(－6，0)，C(6，0)为双曲线－＝1的左，右焦点．

2511

由于B在双曲线左支上，在△ABC中，由正弦定理知，|BC|＝2Rsin A，|AB|＝2Rsin C，2Rsin B＝|AC|＝12，

sin A－sin C2Rsin A－2Rsin C|BC|－|AB|105根据双曲线定义|BC|－|AB|＝10，故＝＝＝＝. sin B2Rsin B|AC|1265

答案： 6

xy

8.已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若|PQ|＝16，点A(5，0)在线段PQ上，

916则△PQF的周长为________．

解析：显然点A(5，0)为双曲线的右焦点．由题意得，|FP|－|PA|＝6，|FQ|－|QA|＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP|＋|FQ|＝28，所以△PQF的周长为|FP|＋|FQ|＋|PQ|＝44.

答案：44

2

2

2

2

2

2

9.设圆C与两圆(x＋5)＋y＝4，(x－5)＋y＝4中的一个内切，另一个外切．求圆C的圆心轨迹L的方程．

解：依题意得两圆的圆心分别为F1(－5，0)，F2(5，0)， 从而可得|CF1|＋2＝|CF2|－2或|CF2|＋2＝|CF1|－2， 所以||CF2|－|CF1||＝4<|F1F2|＝25，

所以圆心C的轨迹是双曲线，其中a＝2，c＝5，b＝c－a＝1， x2

故C的圆心轨迹L的方程是－y＝1.

4

xy

10.双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离．

916→→

解：设P点为(x0，y0)，而F1(－5，0)，F2(5，0)，则PF1＝(－5－x0，－y0)，PF2＝(5－x0，－y0)． →→

∵PF1⊥PF2，∴PF1·PF2＝0，

即(－5－x0)(5－x0)＋(－y0)·(－y0)＝0， 整理，得x0＋y0＝25①. 又∵P(x0，y0)在双曲线上， x0y0

∴－＝1②. 916

256162

联立①②，得y0＝，即|y0|＝.

25516

因此点P到x轴的距离为. 5

[能力提升]

xy22

1.如图，从双曲线－＝1的左焦点F引圆x＋y＝3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M

35为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于( )

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2222

A.3 C.5－3

B.5 D.5＋3

1

解析：选C.|OM|－|MT|＝|PE|－(|MF|－|FT|)

21

＝|FT|－(|PF|－|PE|)

21

＝5－×23

2＝5－3.

y22

2. 已知双曲线的方程为x－＝1，如图，点A的坐标为(－5，0)，B是圆x＋(y－5)＝1上的点，

4

2

2

点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，则|MA|＋|MB|的最小值为________．