山东省临沂市高三数学二模试卷 理(含解析)

=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣≤2x﹣

≤2kπ+

）， 得﹣

+kπ≤x≤

+kπ，k∈Z，

令2kπ﹣

∴f（x）的单调增区间是，k∈Z． （II）∵f（且﹣∴A﹣

+

）=sin（A﹣＜，即A=

， ．

）=

，

＜A﹣=

∵sinC=2sinB，∴c=2b， 又a=3，由余弦定理得cosA=解得b=综上，A=

17．某校的学生文娱团队由理科组和文科组构成，具体数据如表所示：

组别 性别 人数

男生 3

文科

女生 1

男生 3

理科

女生 2

，∴c=2，b=

． ，c=2

．

=

=

，

学校准备从该文娱团队中选出4人到某社区参加大型公益活动演出，每选出一名男生，给其所在的组记1分；每选出一名女生，给其所在的组记2分，要求被选出的4人中文科组和理科组的学生都有．

（I）求理科组恰好得4分的概率；

（II）记文科组的得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望EX．

【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）基本事件总数：n=

+

=120，“理科组恰

好得4分“的选法有两种情况：①从理科组中选取2男1女，再从文科组任选1人；②从理科组中选2名女生，再从文科组中任选2人．由此能求出理科组恰好得4分的概率． （II）由题意知，文科组得分X的取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

【解答】解：（Ⅰ）∵被选出的4人中文科组和理科组的学生都有， ∴基本事件总数：n=

“理科组恰好得4分“的选法有两种情况：

①从理科组中选取2男1女，再从文科组任选1人，共有：②从理科组中选2名女生，再从文科组中任选2人，共有：∴理科组恰好得4分的概率p=

=

．

=24种选法， 种选法，

+

=120，

（II）由题意知，文科组得分X的取值为1，2，3，4， P（X=1）=

=

=

，

P（X=2）===，

P（X=3）==，

P（X=4）=∴X的分布列为：

X P

EX=

1

，

2

3

=

．

4

18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是等腰三角形，∠CAD=120°，AD=DE=2AB． （I）求证：平面BCE⊥平面CDE；

（II）求平面BCE与平面ADEB所成锐二面角的余弦值．

【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．

【分析】（Ⅰ）取CD的中点F，EC的中点P，连接BP，PF，由已知结合三角形中位线定理可得四边形ABPF为平行四边形，得BP∥AF，进一步求得DE⊥平面ACD，得到AF⊥ED．再由△ACD是等腰三角形，F是CD的中点，得到AF⊥CD．由线面垂直的判定可得BP⊥平面CDE．则平面BCE⊥平面CDE；

（Ⅱ）以F为坐标原点，分别以FD、FA、FP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由已知求出所用点的坐标，得到平面BCE与平面ADEB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面BCE与平面ADEB所成锐二面角的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点F，EC的中点P，连接BP，PF， ∴PF∥ED，PF=由已知得，AB∥DE，AB=

， DE，

∴AB∥PF，AB=PF，则四边形ABPF为平行四边形，得BP∥AF， ∵AB∥DE，AB⊥平面ACD，∴DE⊥平面ACD， 又AF?平面ACD，∴AF⊥ED．

又△ACD是等腰三角形，F是CD的中点，∴AF⊥CD． ∴BP⊥DE，BP⊥CD，又DE∩CD=D，∴BP⊥平面CDE． 又BP?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE；

（Ⅱ）解：以F为坐标原点，分别以FD、FA、FP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 设AD=2，∵∠CAD=120°，∴CD=则C（∴

设平面BCE的一个法向量为

，

，0，0），D（

，

，0，0），A（0，1，0），B（0，1，1），E（

，0，2）． ，

则，取x=1，得

．

又

设平面ADEB的一个法向量

，

，

．

则，令x=1，得．

设平面BCE与平面ADEB所成的锐角为θ， 则

cosθ=|cos

＜

＞

|=．

19．已知数列{an}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，若对满足m+n≤5的任意正整数m，n，均有am+an=am+n成立． （I）求数列{an}的通项公式；

（II）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．

【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．

【分析】（1）对满足m+n≤5的任意正整数m，n，均有am+an=am+n成立．可得：m=n=1时，2a1=a2=a1+2．m=1，n=2时，可得a1+a2=a3=a1+2，解得a2=2，a1=1．分奇偶项即可得出．

（2）bn=，可得n为奇数时，

bn=bn=Tn=

=

．因此：n

．n为偶数时，

为偶数时，数列{bn}的前

n

项和

+