2021届课标版高考数学一轮复习精品学案：平面解析几何第8节圆锥曲线中的范围、最值问题

2021届课标版高考数学一轮复习精品学案

第八节 圆锥曲线中的范围、最值问题

⊙考点1 范围问题

圆锥曲线中范围问题的五个解题策略

解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

x2y21

(2019·大连模拟)设椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，离心率为，点F1为圆

ab2M：x2＋y2＋2x－15＝0的圆心．

(1)求椭圆的方程；

(2)已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过点F2且与直线l垂直的直线

l1与圆M交于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围．

c1

[解](1)由题意知＝，则a＝2c.

a2

圆M的标准方程为(x＋1)＋y＝16，

从而椭圆的左焦点为F1(－1,0)，即c＝1.所以a＝2. 由b＝a－c，得b＝3. 所以椭圆的方程为＋＝1.

43(2)由(1)可知椭圆右焦点F2(1,0)．

①当直线l与x轴垂直时，此时斜率k不存在，直线l：x＝1，直线l1：y＝0，可得|AB|＝3，|CD|＝8，四边形ACBD的面积为12.

②当直线l与x轴平行时，此时斜率k＝0，直线l：y＝0，直线l1：x＝1，可得|AB|＝4，|CD|＝43，四边形ACBD的面积为83.

③当直线l与x轴不垂直也不平行时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，

2

2

2

2

2

x2y2

y1)，B(x2，y2)．

y＝kx－1，??22

联立?xy＋＝1，??43

得(4k＋3)x－8kx＋4k－12＝0.

2222

8k4k－12

显然Δ＞0，且x1＋x2＝2，x1x2＝2.

4k＋34k＋312

所以|AB|＝1＋k|x1－x2|＝

2

22

k2＋1

. 24k＋3

2

1

过点F2(1,0)且与直线l垂直的直线l1：y＝－(x－1)，则圆心到直线l1的距离为kk2＋1

，

所以|CD|＝2

?2?4－?2?＝4

?k＋1?

2

4k＋3

. k2＋1

1

1＋2. 4k＋3

2

1

故四边形ACBD的面积S＝|AB||CD|＝12

2

可得当直线l与x轴不垂直时，四边形ACBD面积的取值范围为(12,83)． 综上，四边形ACBD面积的取值范围为[12,83]．

过点F2的直线l与l1，有斜率不存在的情况，应分类求解．

[教师备选例题] (2019·石家庄模拟)已知抛物线C：y＝2px(p＞0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|＝2x0. (1)求抛物线C的方程； (2)过点P引圆M：(x－3)＋y＝r(0＜r≤2)的两条切线PA，PB，切线PA，PB与抛物线C的另一交点分别为A，B，线段AB中点的横坐标记为t，求t的取值范围． 2222??[解](1)由抛物线定义，得|PF|＝x＋，由题意得，?22px＝4，??p＞0，p002x0＝x0＋，2p 解得??p＝2，??x0＝1.? 2 所以抛物线C的方程为y＝4x. (2)由题意知，过P引圆(x－3)＋y＝r(0＜r≤2)的切线斜率存在且不为0，设切线222PA的方程为y＝k1(x－1)＋2，则圆心M(3,0)到切线PA的距离d＝－4)k1－8k1＋r－4＝0. 22|2k1＋2|2＝r，整理得，(r2k1＋1设切线PB的方程为y＝k2(x－1)＋2，同理可得(r－4)k2－8k2＋r－4＝0. 222

所以k1，k2是方程(r－4)k－8k＋r－4＝0的两根，k1＋k2＝设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ??y＝k1由?2?y＝4x?2228，k1k2＝1. r2－4x－1＋2， 得，k1y－4y－4k1＋8＝0，由根与系数的关系知，2y1＝28－4k14－2k14，所以y1＝＝－2＝4k2－2，同理可得y2＝4k1－2.(8分) k1k1k1t＝2x1＋x2y21＋y22＝8＝4k2－22＋4k1－282＝2(k1＋k2)－2(k1＋k2)＋1＝2(k1＋k2)222－2(k1＋k2)－3， 设λ＝k1＋k2，则λ＝8∈[－4，－2)， r－4212所以t＝2λ－2λ－3，其图像的对称轴为λ＝＞－2，所以9＜t≤37. 2 (2019·郑州模拟)已知椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，离心率为(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．

3. 2x2y2

[解](1)设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，

abb＝1，??c3联立?＝，

a2??a＝b＋c，

2

2

2

x2

?b＝1，

解得??c＝3.

2

a＝2，

故椭圆的标准方程为＋y＝1.

4

(2)设P(x0，y0)为弦MN的中点，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

y＝kx＋m，??2

联立?x2

＋y＝1，??4

得(4k＋1)x＋8kmx＋4(m－1)＝0.

222

－8km4m－1

则x1＋x2＝2，x1x2＝. 24k＋14k＋1

2

Δ＝(8km)2－16(4k2＋1)(m2－1)＞0，

所以m＜1＋4k. 所以x0＝

2

2

①

x1＋x2

24kmm＝－2，y0＝kx0＋m＝2.

4k＋14k＋1

y0＋1m＋1＋4k2

所以kAP＝＝－. x04km又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，

m＋1＋4k212

则－＝－，即3m＝4k＋1. ②

4kmk把②代入①得m＜3m，解得0＜m＜3. 3m－112

由②得k＝＞0，解得m＞. 43

2

?1?综上可知，m的取值范围为?，3?.

?3?

⊙考点2 最值问题

求解圆锥曲线中最值问题的两种方法

(1)利用几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；

(2)利用代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，再求这个函数的最值，最值通常用基本不等式法、配方法、导数法求解．

利用基本不等式求最值

已知抛物线E：y＝2px(0＜p＜10)的焦点为F，点M(t,8)在抛物线E上，且|FM|＝10.

(1)求抛物线E的方程；

(2)过点F作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B，C，D，P、Q分别为弦AB、CD的中点，求△FPQ面积的最小值．

[解](1)抛物线E的准线方程为x＝－. 2

由抛物线的定义可得|FM|＝t＋＝10，故t＝10－. 22

由点M在抛物线上，可得8＝2p?10－?，整理得p－20p＋64＝0，解得p＝4或p＝16，

2??又0＜p＜10，所以p＝4. 故抛物线E的方程为y＝8x.

(2)由(1)知抛物线E的方程为y＝8x，焦点为F(2,0)，

由已知可得AB⊥CD，所以两直线AB，CD的斜率都存在且均不为0. 1

设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为－，

2

2

2

2

ppp?

p?2

k故直线AB的方程为y＝k(x－2)．