第六章第2讲 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题

第2讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

[学生用书P119]

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式 Ax＋By＋C>0 Ax＋By＋C≥0 不等式组 2.二元一次不等式(组)的解集

满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．

3．线性规划的有关概念

名 称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意 义 由变量x，y组成的不等式(组) 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于变量x，y的函数解析式，如z＝x＋2y 关于变量x，y的一次解析式 满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

1．辨明两个易误点

(1)画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先将二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)的形式；

(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．

表示区域 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 包括边界直线 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2．求z＝ax＋by(ab≠0)的最值方法

azz

将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接bbb求出z的最值．

zz

(1)当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；

bbzz

(2)当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．

bb

1.教材习题改编 不等式x－2y＋6＜0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的( ) A．右上方 B．右下方 C．左上方

D．左下方

C [解析] 画出x－2y＋6＜0的图象如图所示，可知该 区域在直线x－2y＋6＝0的左上方．故选C.

2x＋y－6≤0，??

2．不等式组?x＋y－3≥0，表示的平面区域的面积为( )

??y≤2A．4 C．5

B [解析] 不等式组

B．1 D．无穷大

2x＋y－6≤0，??

?x＋y－3≥0，表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即所求．求出点A，??y≤2

1

B，C的坐标分别为A(1，2)，B(2，2)，C(3，0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.

2

y≤x，??

3.教材习题改编 已知实数x，y满足约束条件?x＋y≤1，则z＝2x＋y的最大值为( )

??y≥－1，3

A．3 B. 23C．－

2

D．－3

A [解析] 画出可行域，如图阴影部分所示．由z＝2x＋y，知y＝－2x＋z，当目标函数过点(2，－1)时直线在y轴上的截距最大，为3.

4．(2017·扬州模拟)点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是__________．

[解析] 因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点2(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞.

3

2

，＋∞? [答案] ?3??

x－y＋1≥0，??

5．(2016·高考全国卷甲)若x，y满足约束条件?x＋y－3≥0，则z＝x－2y的最小值为

??x－3≤0，________．

11

[解析] 法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，

221

作直线y＝x并平移，观察可知，当直线经过点A(3，4)时，zmin＝3－2×4＝－5.

2

法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得zmin＝－5.

[答案] －5

二元一次不等式(组)表示的平面区域[学生用书P120]

[典例引领]

x＋y－2≥0，??

(1)不等式组?x＋2y－4≤0，表示的平面区域的面积为________．

??x＋3y－2≥0x－y≥0，??2x＋y≤2，

(2)若不等式组?表示的平面区域是一个三角形，则

y≥0，??x＋y≤a________．

【解析】 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，

a的取值范围是

?x＋3y－2＝0，?

由?得A(8，－2)． ??x＋2y－4＝0

11

由x＋y－2＝0得B(0，2)．又|CD|＝2，故S阴影＝×2×2＋×2×2＝4.

22x－y≥0，??

(2)不等式组?2x＋y≤2，表示的平面区域如图所示(阴影部分)．

??y≥0

???y＝x，?y＝0，22??解?得A?3，3?；解?得B(1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个

?2x＋y＝2?2x＋y＝2??

4三角形，则直线x＋y＝a中的a的取值范围是0

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