离散傅里叶变换和快速傅里叶变换

实验报告

课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 成绩：__________________

实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名：

第二次实验 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换

一、实验目的

1.1掌握离散傅里叶变换（DFT）的原理和实现；

1.2掌握快速傅里叶变换（FFT）的原理和实现，掌握用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 1.3 会用Matlab软件进行以上练习。

二、实验原理

2.1关于DFT的相关知识

序列x(n)的离散事件傅里叶变换（DTFT）表示为

X(e)?装 j?n????x(n)e??j?n，

如果x(n)为因果有限长序列，n=0,1,...,N-1，则x(n)的DTFT表示为

订 j?X(e)??x(n)e?j?n，

n?0N?1线 x(n)的离散傅里叶变换（DFT）表达式为

X(k)??x(n)en?0N?1?j2?nkN(k?0,1,...,N?1)，

序列的N点DFT是序列DTFT在频率区间[0,2π]上的N点灯间隔采样，采样间隔为2π/N。通过DFT，可以完成由一组有限个信号采样值x(n)直接计算得到一组有限个频谱采样值X(k)。X(k)的幅度谱为

X(k)?2XR(k)?XI2(k)，其中下标R和I分别表示取实部、虚部的运算。X(k)的相位谱为

?(k)?arctanXI(k)。

XR(k)2?离散傅里叶反变换（IDFT）定义为

jnk1N?1x(n)??X(k)eNNn?0(n?0,1,...,N?1)。

2.2关于FFT的相关知识

快速傅里叶变换（FFT）是DFT的快速算法，并不是一个新的映射。FFT利用了e?j2?nN函数的周期性

和对称性以及一些特殊值来减少DFT的运算量，可使DFT的运算量下降几个数量级，从而使数字信号处

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理的速度大大提高。

若信号是连续信号，用FFT进行谱分析时，首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号，然后就可以用FFT来对连续信号进行谱分析。为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混叠低通滤波器，且抗混叠滤波器的截止频率不得高于与采样频率的一半。

比较DFT和IDFT的定义，两者的区别仅在于指数因子的指数部分的符号差异和幅度尺度变换，因此可用FFT算法来计算IDFT。

三、实验内容与相关分析（共6道）

说明：为了便于老师查看，现将各题的内容写在这里——

题目按照3.1、3.2、...、3.6排列。每道题包含如下内容：题干、解答（思路、M文件源代码、命令窗口中的运行及其结果）、分析。其中“命令窗口中的运行及其结果”按照小题顺序排列，各小题包含命令与结果（图形或者序列）。

Ω

3.1 求有限长离散时间信号x(n)的离散时间傅里叶变换（DTFT）X(ej)并绘图。 ．．（1）已知x(n)???1?2?n?2n；（2）已知x(n)?2?0其他0?n?10。

【解答】

思路：这是DTFT的变换，按照定义编写DTFT的M文件即可。考虑到自变量Ω是连续的，为了方便计算机计算，计算时只取三个周期[-2π,4π]中均匀的1000个点用于绘图。

理论计算的各序列DTFT表达式，请见本题的分析。 M文件源代码（我的Matlab源文件不支持中文注释，抱歉）： function DTFT(n1,n2,x)

%This is a DTFT function for my experiment of Signal Processing & Analysis. w=0:2*pi/1000:2*pi;Tfine the bracket of omega for plotting. X=zeros(size(w));Tfine the initial values of X. for i=n1:n2

X=X+x(i-n1+1)*exp((-1)*j*w*i);%It is the definition of DTFT. end

Amp=abs(X);?quire the amplification.

Phs=angle(X);?quire the phase angle (radian). subplot(1,2,1);

plot(w,Amp,'r'); xlabel('\\Omega');ylabel('Amplification');hold on; %Plot amplification on the left. subplot(1,2,2);

plot(w,Phs,'b');xlabel('\\Omega');ylabel('Phase Angle (radian)');hold off; %Plot phase angle on the right. end

命令窗口中的运行及其结果（理论计算的各序列DTFT表达式，请见本题的分析）： 第（1）小题

>> n=(-2:2); >> x=1.^n;

>> DTFT(-2,2,x);

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54.544323.5Phase Angle (radian)

Amplification32.521.510-1-210.50-3-4-50510-50510??第（2）小题

>> n=(0:10); >> x=2.^n;

>> DTFT(0,10,x);

2200200018001600图3.1.1在[-2π,4π]范围内3个周期的幅度谱和相位谱（弧度制）

432Phase Angle (radian)-5051010-1-2-3-4Amplification140012001000800600-50510??

图3.1.2在[-2π,4π]范围内3个周期的幅度谱和相位谱（弧度制）

【分析】

对于第（1）小题，由于序列x(n)只在有限区间（-2，-1，-，1，2）上为1，所以是离散非周期的信号。它的幅度频谱相应地应该是周期连续信号。事实上，我们可计算出它的表达式：

X(?)?n????x(n)e?j?n???n??2?e?j?n21?e?5j?e2j?1?e?5j???X(?)?，可见幅度频谱拥有主极大?j??j?1?e1?e?? word文档 可自由复制编辑

和次极大，两个主极大间有|5-1|=4个极小，即有3个次级大。而对于它的相位频谱，则是周期性地在-π、0、π之间震荡。

对于第（2）小题，由于是离散非周期的信号。它的幅度频谱相应地应该是周期连续信号。而它的表达式：X(?)?n????x(n)e???j?n??2en?010??j?n?1?211e?11j?211??X(?)?，因此主极大之间只有?j??j?1?2e1?2e|0-1|=1个极小，不存在次级大。而对于它的相位频谱，则是在一个长为2π的周期内有|11-1|=10次振荡。

而由DTFT的定义可知，频谱都是以2π为周期向两边无限延伸的。由于DTFT是连续谱，对于计算机处理来说特别困难，因此我们才需要离散信号的频谱也离散，由此构造出DFT（以及为加速计算DFT的FFT）。

3.2已知有限长序列x(n)={8,7,9,5,1,7,9,5},试分别采用DFT和FFT求其离散傅里叶变换X(k)的幅度、相位图。 【解答】

思路：按照定义编写M文件即可。 M文件源代码： i) DFT函数：

function DFT(N,x)

%This is a DFT function for my experiment of Signal Processing & Analysis. k=(0:N-1);Tfine variable k for DFT.

X=zeros(size(k));Tfine the initial valves of X. for i=0:N-1

X=X+x(i+1)*exp((-1)*j*2*k*pi/N*i);%It is the definition of DFT. end

Amp=abs(X);?quire the amplification.

Phs=angle(X);?quire the phase angle (radian). subplot(1,2,1);

stem(k,Amp,'.',’MarkerSize’,18); xlabel('k');ylabel('Amplification');hold on; %Plot amplification on the left. subplot(1,2,2);

stem(k,Phs,'*');xlabel('k');ylabel('Phase Angle (radian)');hold off; %Plot phase angle on the right. end

ii) 基2-FFT函数

function myFFT(N,x)

%This is a base-2 FFT function. lov=(0:N-1); j1=0;

for i=1:N %indexed addressing if i

temp=x(j1+1); x(j1+1)=x(i); x(i)=temp; end

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