导数及其应用[1].板块四 导数与其它知识综合1-函数 学生版

板块四.导数与其它知识综合

知识内容

1．导数与函数的性质、基本初等函数的结合，这是导数的最主要的考查内容； 常常涉及到函数与方程的知识，有时需要结合函数图象求解； 2．导数与数列的结合，要注意数列作为函数的特殊性；

3．导数与三角函数的结合；

4．导数在不等式的证明中的运用，经常需要构造函数，利用导数去求单调性，证明不等式．

典例分析

题型一：导数与函数综合

方程的根的问题

【例1】 若方程x?3ax?2?0有三个不同实根，则实数a的取值范围为（ ）

A．a?0 B．a?1 C．1?a?3 D．0?a?1

【例2】 已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行，且y?g(x)在x??1处取得极小值

m?1(m?0)．设f?x??g?x?x3．

⑴若曲线y?f?x?上的点P到点Q?0，2?的距离的最小值为2，求m的值； ⑵若函数y?f?x??kx有且仅有一个零点，求k的值，并求出相应的零点． ⑶k?k?R?如何取值时，函数y?f?x??kx存在零点，并求出零点．

【例3】 已知函数f(x)?ax3?(a?1)x2?48(a?2)x?b为奇函数，

⑴求f(x)的解析式； ⑵求f(x)的单调区间．

⑶若f(x)?m有三个不同的实根，求m的取值范围．

【例4】 设函数f?x??x3?bx2?cx(x?R)，已知g(x)?f(x)?f?(x)是奇函数．

⑴求b、c的值．⑵求g(x)的单调区间与极值．

⑶若g(x)?m有三个不同的实根，求m的取值范围．

9【例5】 设函数f(x)?x3?x2?6x?a．

2

⑴对于任意实数x，f?(x)≥m恒成立，求m的最大值； ⑵若方程f(x)?0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

0)，如图【例6】 已知函数f(x)?ax3?bx2?4x的极小值为?8，其导函数y?f?(x)的图象经过点(?2，所示．

⑴ 求f(x)的解析式；

2]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围． ⑵ 若函数y?f?x??k在区间[?3，y-2Ox

3)，且在该点处的切线与直线【例7】 已知二次函数f(x)满足：①在x?1时有极值；②图象过点(0，2x?y?0平行．

⑴ 求f(x)的解析式；

⑵ 求函数g(x)?f(x2)的单调递增区间．

⑶求g(x)在[?1，2]上的最大值与最小值．

⑷关于x的方程g(x)?m最多有几个解?并求出此时m的取值范围．

【例8】 设函数f?x??x?ln?x?m?，其中常数m为整数．

⑴当m为何值时，f?x?≥0；

⑵定理：若函数g?x?在?a，b?上连续，且g?a?与g?b?异号，则至少存在一点x0??a，b?，使g?x0??0．（注：此定理在新课标的必修一中已经给出了）

?m2m试用上述定理证明：当整数m?1时，方程f?x??0在?e?m，e?m???内有两个实根．

5)，且f(x)在区间??1，4?上的最大值是【例9】 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)?0的解集是(0，12．

⑴求f(x)的解析式；

37m?1)内有且只有两个不等的实数?0在区间(m，x根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

⑵是否存在自然数m，使得方程f(x)?

【例10】 设a为实数，函数f(x)?x3?x2?x?a，

⑴求f(x)的单调区间与极值；

⑵当a在什么范围内取值时，方程f(x)?0仅有一个根．

1【例11】 已知函数f?x??x3?ax2?b在x??2处有极值．

3

⑴ 求函数f?x?的单调区间；

⑵ 若函数f?x?在区间??3,3?上有且仅有一个零点，求b的取值范围．

【例12】 已知函数f?x???x3?ax2?b?a，b?R?．

⑴若a?1，函数f?x?的图象能否总在直线y?b的下方？说明理由？ ⑵若函数f?x?在?0，2?上是增函数，求a的取值范围．

⑶设x1，x2，x3为方程f?x??0的三个根，且x1???1，0?，x2??0，1?，x3????，?1???1，???，求证：a?1．

图象的交点问题

【例13】 已知直线y?kx与曲线y?lnx有交点，则k的最大值为（ ）

A．e?1 B．e C．e2 D．0

【例14】 直线y?ex?b（e为自然对数的底数）与两个函数f(x)?ex，g(x)?lnx的图象至多有一个公

共点，则实数b的取值范围是__________．

【例15】 已知函数f(x)?x3?3ax?1,a?0

⑴ 求f?x?的单调区间；

⑵ 若f?x?在x??1处取得极值，直线y?m与y?f?x?的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

【例16】 已知函数f?x??x3?3ax?1，g?x??f??x??ax?5，其中f?(x)是f(x)的导函数．

⑴对满足?1≤a≤1的一切a的值，都有g?x??0，求实数x的取值范围；

⑵设a??m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y?f?x?的图象与直线y?3只有一个公共点．

【例17】 已知函数f(x)?x3?x2?ax?b．

⑴ 当a??1时，求函数f(x)的单调区间；

⑵ 若函数f(x)的图象与直线y?ax只有一个公共点，求实数b的取值范围．

1【例18】 已知函数f?x??x3?ax2?bx，且f???1??0．

3⑴ 试用含a的代数式表示b； ⑵ 求f?x?的单调区间；

⑶ 令a??1，设函数f?x?在x1，x2?x1?x2?处取得极值，记点M?x1，f?x1??，N?x2，f?x2??， 证明：线段MN与曲线f?x?存在异于M，N的公共点．

【例19】 f(x)?mx3?3(m?1)x2?3(m?2)x?1，其中m?R．

⑴若m?0，求f(x)的单调区间；

⑵在⑴的条件下，当x???1，1?时，函数y?f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围；

⑶设g(x)?mx3?(3m?2)x2?3mx?4lnx?m?1，问是否存在实数m，使得y?f(x)的图象与y?g(x)的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

【例20】 已知函数f(x)??x2?8x，g(x)?6lnx?m．

⑴求f(x)在区间?t，t?1?上的最大值h(t)；

⑵是否存在实数m，使得y?f(x)的图象与y?g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

【例21】 已知x?3是函数f?x??aln?1?x??x2?10x的一个极值点．

⑴ 求a；

⑵ 求函数f?x?的单调区间；

⑶ 若直线y?b与函数y?f?x?的图象有3个交点，求b的取值范围．

1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减； 【例22】 已知函数f(x)?x4?4x3?ax2?1在区间[0，⑴求a的值；

⑵是否存在实数b，使得函数g(x)?bx2?1的图象与函数f(x)的图象恰有2个交点，若存在，求出实数b的值；若不存在，试说明理由．

其它

【例23】 已知f(x)?lgx，函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1?x2)，有如下结论：

①0?f?(3)?f(3)?f(2)?f?(2)；②0?f?(3)?f?(2)?f(3)?f(2)；

?x?x2?f(x1)?f(x2)f?1． ??2?2?上述结论中正确结论的序号是 ．

③

f(x1)?f(x2)?0；④

x1?x2

0)、点P0)和点P2(m?1，m?1)（m?0，且【例24】 已知二次函数y?g(x)的图象经过原点O(0，1(m，m??1）．

⑴求函数y?g(x)的解析式；

⑵设f(x)?(x?n)g(x)（m?n?0），若f?(a)?f?(b)?0，b?a，求证：b?n?a?m．

⑶在例题⑵的条件下，若m?n?22，则过原点与曲线y?f(x)相切的两条直线能否互相垂直？若能，请给出证明；若不能，请说明理由．

【例25】 设函数y?f(x)在(a,b)上的导函数为f?(x)，f?(x)在(a,b)上的导函数为f??(x)，若在(a,b)上，

113f??(x)?0恒成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”．已知f(x)?x4?mx3?x2．

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