2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试题及详细解答（文科）（A卷） word版

本试题的解答 由北大附中广州实验学校 王生老师原创，仅供参考，错误之处敬请指正

2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学试题及其详细解答（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、

座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、

错涂、多涂的，答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式V=

13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛xx2?x?0关系的韦恩（Venn）图是

A． B． C． D．

1.解：因为 N?{?1,0} ｛—1，0，1｝=M， 所以答 B .

n2.下列n的取值中，使i?1 (i是虚数单位)的是

A．n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=5 2．答C。 因为i??1 ，所以 i?1,i??i,i?i。

3.已知平面向量a=(x,1), b=(—x,x2 )，则向量a?b

A．平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C. 平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线

3．解：a?b?(0,1?x)，故答C。

x4、若函数y＝f(x)是函数y?a(a?0,且a?1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝

A．log2x B．

12x

24352 C． log1x D．2x?2

2ax4.解：由函数y＝f(x)是函数y?a(a?0,且a?1)的反函数，可知f(x)?logx，

又f(2)＝1，即log

a2?1，所以a=2, f(x)?log2x。故答A。

数学（文科）试题A 第1页 （共10页）

本试题的解答 由北大附中广州实验学校 王生老师原创，仅供参考，错误之处敬请指正 5、已知等比数列?an?的公比为正数，且a3?a9?2a5，a2＝1，则a1＝

A．

122 B．

22 C． 2 D．2

2225．解：由等比数列的性质可知a3?a9?a6?a6?a6， 所以a6?2a5，设公比为q, 则 q?2a6a522?2，所以q?2，又a2?a1q?1，所以a1?1q?22，故答B .

6、给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。 其中，为真命题的是

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④

6.解： 显然 ①和③是假命题，故否定A,B,C, 答 D.

7、已知△ABC中，?A，?B，?C的对边分别为a,b,c.若a?c?b＝

A．2 B．4＋23 C． 4－23 D．6－2 7. 解：显然，△ABC为等腰三角形，∠B=180b26?2，且?A＝75?，则

o?2?75o2?30，由余弦定理，得

oo?(6?2)?(6?22)?2(6?22)cos30=4，所以b=2.

8.函数f(x)?(x?3)ex的单调递增区间是

A. ???,2? B.（0，3） C. （1，4） D. ?2,???

8．解：f?(x)?ex?(x?3)ex?(x?2)ex，令f?(x)?0，解得x>2,故答D。 9.函数y?2cos2?x???????1是 4?A. 最小正周期为?的奇函数 B. 最小正周期为?的偶函数

??C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数

229．解：y?2cos2?x?????2???????T???，=，为奇函数,?1cos2x??cos?2x?sin2x?????24?2???2?故答A。

10.广州2010年亚运会火炬传递在A,B,C,D,E五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见右表。若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只

经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 A. 20.6 B.21 C. 22 D. 23

10．解：用树状图，列出以A为起点，E为终点的所有路线，共6条，各条路线及其距离分别为：A-B-C-D-E（5+7+9+5=26），A-B-D-C-E（5+6+9+8.6=28.6）， A-C-B-D-E（4+7+6+5=22），A-C-D-B-E（4+9+6+2=21）， A-D-B-C-E（5+6+7+8.6=26.6），A-D-C-B-E（5+9+7+2=23），比较可知，答案为B.

数学（文科）试题A 第2页 （共10页）

本试题的解答 由北大附中广州实验学校 王生老师原创，仅供参考，错误之处敬请指正 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题(11--13题)

11.某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示:

图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,则图中判断框应填 ,输出的s= .(注:框图中的赋值符号“=”也可

以写成“?”或“：=”)

11．解：i?6， a1?a2?a3?a4?a5?a6。

12.某单位200名职工的年龄分布情况如图2,现要从中抽取40名职工作样本.用系统抽样法,将全体职工随机按1?200编号,并按编号顺序平均分为40组(1?5号,6?10号,?,196?200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是 .若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取 人.

12．答：37 ， 20 。

12．解：依题意可知，用系统抽样法抽取的40名职工的

编号构成公差为5的等差数列，因为第5组抽出的号码为22,所以第8组抽出的号码应是22+3?5=37. 因为40岁以下职工占50%，故用分层抽样方法, 40岁以下年龄段应抽取20人.

13. 以点（2，－1）为圆心且与直线x?y?6相切的圆的方程是________________________.

2?1?61?152

13．解：由题意得，所求圆的半径为r??，所以所求圆的方程为

?x?2?2?(y?1)2?252.

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）若直线{y?2?3t.（t为参数）与直线

则常数k=________.

14．解：参数方程{y?2?3t.（t为参数）化为普通方程是y?2?x?1?2t,x?1?2t,x?ky?垂直，

?32(x?1)，

数学（文科）试题A 第3页 （共10页）

本试题的解答 由北大附中广州实验学校 王生老师原创，仅供参考，错误之处敬请指正

该直线的斜率为?32，

若k=0，显然两直线不垂直；

若k?0，则由两直线垂直的充要条件，得????4??3????????1， k??6。 k??2?

15.(几何证明选讲选做题) 如图3，点A、B、C是圆O上的点，且AB?4，

o?ACB?30,则圆O的面积等于___________________ .

15．解：连结OA，OB，则∠AOB=2∠ACB=60O，所以△AOB为正三角形，圆

O的半径r=AB?4，于是，圆O的面积等于?r2???42?16?

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

???16.（本小题满分12分）已知向量a＝?sin?’－2?与b＝?1，cos??互相垂直，其中???0,?.

?2?

（1） 求sin?和cos?的值；

（2） 若5cos(???)?35cos?,0????2，求cos?的值。

－2?与b＝?1，cos??互相垂直， 16．解：（1）∵ 向量a＝?sin?’∴ a?b?sin??2cos??0，即sin??2cos?①，

又 sin2??cos2??1 ②

① 代入②，整理，得cos??由???0,??215，

???，可知cos??0，

2?∴cos??55，代入①得sin??55255

故 cos??， sin??255。

（2）∵5cos(???)?35cos?，

∴5(cos?cos??sin?sin?)?35cos?

将（1）的结果代入其中，得5??5?25cos??sin???35cos? ?5?5??22 整理，得sin??cos?③， 又sin??cos??1④

③代入④，整理，得cos??由0????2212

，可知cos??0，

22所以，解得cos??。

数学（文科）试题A 第4页 （共10页）