2011-2017年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编 - 8.三角函数与解三角形

8．三角函数与解三角形

一、选择题

（2016·7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移

A．x?C．x?k???(k?Z) 26k???(k?Z) 212

?个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） 12k??B．x??(k?Z)

26k??D．x??(k?Z)

212（2016·9）若cos(A．

?7 253??)?，则sin 2α =（ ） 4511 B． C．?

55

D．?7 25（2014·4）钝角三角形ABC的面积是1，AB=1，BC=2，则AC=（ ）

2A．5

B．5

C．2

D．1

（2012·9）已知??0，函数f(x)?sin(?x?A. [,]

1524

B. [,]

1324

?)在(,?)单调递减，则?的取值范围是（） 421C. (0,] D. (0,2]

2C．3

5D．4

5?（2011·5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ =（ ）

A．?4

5

B．?3

5

（2011·11）设函数f(x)?sin(?x??)?cos(?x??)(??0,|?|?则（ ）

A．f(x)在(0,)单调递减

2C．f(x)在(0,)单调递增

2二、填空题

2（2017·14）函数f?x??sinx?3cosx??2)的最小正周期为?，且f(?x)?f(x)，

?

?3?B．f(x)在(,)单调递减

44

??3?D．f(x)在(,)单调递增

443???（x??0,?）的最大值是 ． 4?2?54，cos C?，a = 1，则b = .

135（2016·13）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A?（2014·14）函数f(x)?sin(x?2?)?2sin?cos(x??)的最大值为_________.

?1（2013·15）设?为第二象限角，若tan(??)?，则sin??cos??_________.

42（2011·16）在△ABC中，B?60,AC?3，则AB?2BC的最大值为 . 三、解答题

2（2017·17）?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知sin(A?C)?8sinB． 2（1）求cosB；

（2）若a?c?6 , ?ABC面积为2，求b.．

（2015·17）在?ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，?ABD面积是?ADC面积的2倍．

sin?B（Ⅰ）求 ；

sin?C2（Ⅱ） 若AD=1，DC= ，求BD和AC的长．

2

（2013·17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB. （Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.

（2012·17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC?3asinC?b?c?0. （Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为3，求b，c.

2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编

8．三角函数与解三角形（逐题解析版）

一、选择题

π?π?π??7）B解析：平移后图像表达式为y?2sin2?x??，令2?x???kπ+，得对称轴方程：（2016·

12?12?2??kππx???k?Z?，故选B．

26?3π?72π9）D解析： （2016·∵cos(??)?，sin2??cos(?2?)?cos[2(??)]?2cos(??)?1?，故选D．4524425（2014·4）B解析：∵S?ABC?∴sinB?111|AB|?|BC|?sinB，即：??1?2?sinB， 2222，即B?45或135． 2又∵|AC|2?|AB|2?|BC|2?2|AB|?|BC|?cosB，∴|AC|2?1或5， 又∵?ABC为钝角三角形，∴|AC|2?5，即：|AC|?5. （2012·9）A解析：由

15????3??2k??????????2k?,k?Z得，?4k????2k,k?Z，

242244215∵??0，∴???.

24cos2??sin2?1?tan2?3（2011·5）B解析：由题知tan??2,cos2??，故选B. ???222cos??sin?1?tan?5

（2011·11）A解析：

f(x)?2sin(?x????4)(??0,|?|??2)的最小正周期为π，所以??2，

又f(?x)?f(x)，∴ f (x)为偶函数，??=

二、填空题

??+k?,k?Z，?f(x)?2sin(2x?)?2cos2x，故选A. 423?????（2017·14）1【解析】∵ f?x??sin2x?3cosx??x??0,??，sin2x?cos2x?1，

4??2??∴ f?x???cos2x?3cosx?∴ f?x?max?1．

3112，设t?cosx，t??0,1?，∴ f?x???t?3t?，函数对称轴为t?2??0,1?，442145312解析：∵cosA?，cosC?，∴sinA?，sinC?，13135135ba2163sinB?sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC?，由正弦定理得：?，解得b?．

65sinBsinA13（2014·14）1 解析：∵f(x)?sin(x?2?)?2sin?cos(x??)?sin[??(x??)]?2sin?cos(x??)

13）（2016·

?sin?cos(x??)?cos?sin(x??)?2sin?cos(x??)?cos?sin(x??)?sin?cos(x??)?sinx

∵x?R，∴f(x)的最大值为1. （2013·15）?11π?1?tan?1?10解析：由tan??????，得tan θ＝?，即sin θ＝?cos θ. 将其代入

334?1?tan?25?sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＋cos θ＝?1031010cos2??1. 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝?，sin θ＝， 9101010. 5BCAC??2?BC?2sinA，sinAsinB，

（2011·16）27解析：A?C?1200?C?1200?A,A?(0,1200)，

ABAC??2?AB?2sinC?2sin(1200?A)?3cosA?sinAsinCsinB?AB?2BC?三、解答题

2（2017·17）?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知sin(A?C)?8sin3cosA?5sinA?28sin(A??)?27sin(A??)，故最大值是27 .

B． 2（1）求cosB；

（2）若a?c?6 , ?ABC面积为2，求b.．

B41-cosB），故sinB?（，

2152上式两边平方，整理得 17cosB-32cosB+15=0，解得 cosB=1（舍去），cosB=.

17BBB2B2B【解法2】由题设及A?B?C??,sinB?8sin，所以2sincos?8sin，又sin?0，所

22222B1?tan2B12?15. ?，cosB?以tanB17241?tan221581417ac，又S?ABC=2，则ac?， （Ⅱ）由cosB=得sinB?，故S?ABC?acsinB?17172172解析：（Ⅰ）【解法1】由题设及A?B?C??,sinB?8sin2由余弦定理及a?c?6得

2b2?a2?c2?2accosB?（a+c）?2ac(1?cosB)?36?2?1715?(1?)?4，所以b=2． 217

（2015·17）在?ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，?ABD面积是?ADC面积的2倍．

sin?B（Ⅰ）求 ；

sin?C2（Ⅱ） 若AD=1，DC= ，求BD和AC的长．

2解析：（Ⅰ）S?ABD?11AB?ADsin?BAD，S?ADC?AC?ADsin?CAD，因为S?ABD?2S?ADC，22sin?BAC1??.

sin?CAB2?BAD??CAD，所以AB?2AC，由正弦定理可得

（Ⅱ）因为S?ABD:S?ADC?BD:DC?2，DC?2，所以BD?2，在?ABD和?ADC中， 2由余弦定理知，AB2?AD2?BD2?2AD?BDcos?ADB，AC2?AD2?DC2?2AD?DCcos?ADC， 故AB2?2AC2?3AD2?BD2?2DC2?6，由（Ⅰ）知AB?2AC，所以AC?1.

（2013·17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB. （Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.

解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B ①， 又A＝π-(B+C)，故sin A＝sin(B+C)

＝sin Bcos C+cos Bsin C ②，由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以B?（Ⅱ）△ABC的面积S?acsinB?故ac?

（2012·17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC?3asinC?b?c?0. （Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为3，求b，c.

解析：（Ⅰ）由acosC?3asinC?b?c?0及正弦定理可得sinAcosC?3sinAsinC ?sinB?sinC?0，

?.

412?222

ac. 由已知及余弦定理得4=a2+c2?2accos. 又a＋c≥2ac，

444，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2+1.

2?2sinAcosC?3sinAsinC?sin(A?C)?sinC?0，

3sinAsinC?cosAsinC ?sinC?0，QsinC?0，

，

??1?3sinA?cosA?1?0，?2sin(A?)?1?0，sin(A?)?662??5???????A??，?A??，?A?.

666663 （Ⅱ）QSVABC?3，?bcsinA?Q0?A??，

12?3bc?3，?bc?4，Qa?2,A?34，

?a2?b2?c2?2bccosA?b2?c2?bc?4，?b2?c2?8，解得b?c?2.