11、2020重庆中考数学复习四边形翻折变换专题训练十一(含答案解析)

则cos∠DA′H＝ ．

解：如图，延长DC'交AB于K，连接FK，分别过H，E作DK的垂线，垂足分别为M，N， ∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝6， ∵E，F分别为AB，BC的中点，∴AE＝BE＝BF＝FC＝×6＝3， 由翻折知，△DCF≌△DC'F，△AEH≌△A'EH，

∴∠FC'D＝∠C＝90°，∠A＝∠HA'E＝90°，AE＝A'E＝3，C'F＝CF＝BF＝3，DC'＝DC＝6， ∴∠B＝∠FC'K＝90°，又∵KF＝KF，∴Rt△FBK≌Rt△FC'K（HL），∴KB＝KC'， 设KB＝KC'＝x，在Rt△ADK中，AD＝6，AK＝6﹣x，DK＝6+x，

∵DK2＝AD2+AK2，∴（6+x）2＝62+（6﹣x）2，解得，x＝，∴BK＝C'K＝， ∴DK＝DC'+KC'＝6+＝

，EK＝BE﹣BK＝，

，即

，解得，EN＝，

在Rt△KNE与Rt△KAD中，sin∠EKN＝

∵∠DA'H+∠EA'N＝90°，∠EA'N+∠NEA'＝90°，∴∠HA'D＝∠NEA'，

在Rt△EA'N中，cos∠A'EN＝

＝＝，即cos∠DA'H＝，故答案为：．

例4、如图，在正方形ABCD中，边长为2，点E为边BC的中点，将边AB沿AE折叠到AM，点F为边CD上一点，将边AD沿AF折叠恰能使AD与AM重合．延长AM，交CD于点N，连接EN并延长，

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交AF的延长线于点G，连接CG，则GN＝ ．

解：延长GE交AB的延长线于点P，过点G作GQ⊥BC交BC的延长线于点Q，如图2所示： 由折叠性质得：∠BAE＝∠MAE，∠AEN＝90°，∠EAG＝45°， ∴∠AGE＝45°，

∴△AEG为等腰直角三角形， ∴EG＝AE＝

＝

＝

，

∵∠AEB+∠GEQ＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠GEQ＝∠BAE， 在△ABE和△EQG中，∴△ABE≌△EQG（AAS）， ∴AB＝EQ，

∵点E为边BC的中点， ∴EC＝CQ，

∵四边形ABCD是正方形， ∴CN⊥BC， ∴CN∥GQ，

∴CN是△EQG的中位线， ∴EN＝GN， ∴GN＝EG＝

练习：（2016秋?渝中区校级期中）如图，在边长为2的正方形ABCD中，F是DC延长线上一点，且CF＝CD，E是AF中点，将△ABE沿BE翻折至△A'BE处，连接A'D，则A'D的长为

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，

，

．

解：如图：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系

连接AA'，交BE于M，作A'N⊥AD于N，根据题意得：A（0，0），B（2，0），D（0，3），F（3，2） ∵E是AF中点∴E（，1）设BE解析式y＝kx+b∴

∴k＝﹣2，b＝4

∴BE解析式y＝﹣2x+4，∵将△ABE沿BE翻折至△A'BE，∴BE⊥AA'，AM＝A'M，∴AA'解析式y＝x

设M（x，y）∴解得：∵AM＝A'M，∴根据中点坐标公式可得A'（，）

∴A'N＝

，AN＝∴DN＝AD﹣AN＝，在Rt△A'DN中，A'D＝＝

例5、（2010?江东区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点P在线段BC上运动，现将纸片折叠，使点A与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），设BP＝x，当点E落在AB上，点F落在AD上时，x的取值范围是（ ） A．0＜x≤1

B．0＜x≤3

C．1≤x≤3

D．3≤x≤5

解：如图；①当F、D重合时，BP的值最小；根据折叠的性质知：AF＝PF＝5；在Rt△PFC中，PF＝5，FC＝3，则PC＝4；∴BP＝xmin＝1；

②当E、B重合时，BP的值最大；由折叠的性质可得BP＝AB＝3．所以答案应该是1≤x≤3． 故选：C． 练习：

1、（2014?拱墅区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点P在线段BC上运动，现将纸片折叠，使点A与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），设BP＝x，当点E落在线段AB上，

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点F落在线段AD上时，x的取值范围是 5﹣≤x≤2 ．

解：如图；①当F、D重合时，BP的值最小；根据折叠的性质知：AF＝PF＝5； 在Rt△PFC中，PF＝5，FC＝2，则PC＝

；∴BP的最小值为5﹣

；

②当E、B重合时，BP的值最大；由折叠的性质可得AB＝BP＝2，即BP的最大值为2． 所以x的取值范围是5﹣

2、（2018春?建邺区校级月考）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝12，点P是边BC上的动点．现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边AB，AD有交点，则BP的取值范围是 12﹣4≤BP≤8 ． ≤x≤2．

解：①当F、D重合时，BP的值最小，如图1所示：根据折叠的性质知：AF＝PF＝12； 在Rt△PFC中，PF＝12，FC＝8，由勾股定理得：PC＝

＝4

；∴BP＝12﹣4

；

②当E、B重合时，BP的值最大，如图2所示：根据折叠的性质即可得到AB＝BP＝8， 即BP的最大值为8；故答案为：12﹣4

例6、（2019秋?江阴市期中）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝5，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在矩形ABCD内部时，PD的最小值等于（ ）

≤BP≤8．

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