中考数学复习 第1编 教材知识梳理篇 第5章 图形的相似

第五章 图形的相似与解直角三角形

第一节 图形的相似与位似

,青海五年中考命题规律)

年份 题型 题号 考查点 考查内容 以平行四边形为背景，判定两个三角形相似，求面积比 以圆为背景，证明等积式成立 以平行四边形为背景，判定两个三角形相似，求对应边的比 利用相似三角形测水塔的高 利用相似三角形测旗杆的高度 分值 总分 2017 选择 17 相似三角形 3 3 2016 解答 25 相似三角形的性质与判定 3 3 2015 选择 15 相似三角形 3 3 2014 填空 5 相似三角形的应用 相似三角形的应用 2 2 2013 填空 纵观青海省近五年中考考查相似三角形的应用4次，相似三角形的判定与性质每次都以填空题或选择题的形式出现，对于相似三角形的判定与性质综合应用一般与函数、圆、四边形结合，以解答题形式呈现，难度较高．预计2018年青海省中考仍有一道小题涉及到相似三角形的应11 2 2 命题规律

用；其判定与性质与函数结合应用

,青海五年中考真题)

相似三角形的判定与性质

1．(2017青海中考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连接AE交DB于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( D )

A．1∶3 B．3∶4 C．1∶9 D．9∶16

(第1题图)

(第2题图)

2．(2015青海中考)如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点EF

F，则＝( A )

FC

A. B. C. D.

相似三角形的实际应用

3．(2014青海中考)如图，为了测量一水塔的高度，小强用2 m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8 m，与水塔相距32 m，则水塔的高度为__10__m.

13122332

(第3题图)

(第3题图)

4．(2013青海中考)如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一滩积水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部距离CD＝6 m，他与积水的距离BC＝1 m，他的眼睛距地面AB＝1.5 m，则

旗杆的高度DE＝__9__m.

5．(2016青海中考节选)如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E.求证：BM＝BE·AB.

2

证明：连接OM.∵OA＝OM，∴∠OAM＝∠OMA.∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，即∠OMA＋∠OMB＝90°， ∴∠OAM＋∠OMB＝90°.

又∵CD是⊙O的切线，∴∠OMB＋∠BME＝90°， ∴∠OAM＝∠BME.又∵∠AMB＝∠MEB＝90°， ABMB2

∴△AMB∽△MEB.∴＝，即BM＝BE·AB.

BMEB

6．(2016西宁九年级调研测试二)如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，BD与AE，AF分别相交于点G，H.

(1)求证：△ABE∽△ADF；

(2)若AG＝AH，求证：四边形ABCD是菱形．

证明：(1)∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE＝∠ADF，∴△ABE∽△ADF；

(2)∵AG＝AH，∴∠AGH＝∠AHG，∴∠BGE＝∠DHF，∵∠AEB＝∠AFD＝90°，∴∠DBC＝∠BDC，∴BC＝CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．

,中考考点清单)

比例的相关概念及性质

1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．

ab2

2．比例中项：如果＝，即b＝__ac__，我们就把b叫做a，c的比例中项．

bc3．比例的性质

性质1 性质2 性质3 ac＝?__ad__＝bc(a、b、c、d≠0). bdaca±bc±d如果＝，那么＝. bdbdacma＋c＋…＋mm如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，则＝__(不唯bdnb＋d＋…＋nn一)__. ACBC

4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使＝____，那么点C叫做线段AC的__黄金分割点

ABAC

__，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做__黄金比__．

相似三角形的判定及性质

5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．

6．性质

(1)相似三角形的__对应角__相等；

(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；

(3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__． 7．判定

(1)__有两角__对应相等，两三角形相似；

(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似； (3)三边__对应成比例__，两三角形相似；

(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似． 【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：

(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)．

(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]． (3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等．

(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例． (5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，可找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．

【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．

ABDE

如：＝，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．

BCEF

相似多边形

8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．

9．性质

(1)相似多边形的对应边__成比例__； (2)相似多边形的对应角__相等__；

(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．

位似图形

10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．

11．性质

(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于__k或－k__；

(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．

12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即