余弦定理 - 教学设计

2.1.2 余 弦 定 理

一、教材依据

北师大版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》第二章《解三角形》第二节第二课《余弦定理》。

二、设计思想 教材分析：

通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。

学生学习情况分析

本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。

设计思想

新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。

三、教学目标

1、知识与技能目标：

掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2、过程与方法目标：

利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

3、情感、态度与价值观目标：

培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

四、教学重点与难点

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的

思路。

五、教学过程： 教学环节 合作探究活动 学情分析与设计意图 1、一般三角形全等的四种判断方法是什么？ 知识 abc??2、三角形的正弦定理内容，主要sinAsinAsinC回顾 解决哪几类问题的三角形？ 你能判断下列三角形的类型吗？ 1、以3，4，5为各边长的三角形是_____三角形 创设 引入 以2，3，4为各边长的三角形是_____三角形 以4，5，6为各边长的三角形是_____三角形 2、在△ABC中a＝8，b＝5，∠c＝60°，你能求c边长吗？ 引导学生从平面几何、实践作图方面进行估计判断。 你能够有更好的具体的量化方法吗？ 提出 帮助学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等问题 方面进行分析讨论，选择简洁的处理工具，引发学生的积极讨论。 回顾旧知，防止遗忘 学生可能比较茫然，帮助学生分析相关内容，从多角度看待问题，用实践进行检验。 引导学生从相关知识入手，选择简洁的工具。 利用向量法推导余弦定理： A 如图：设CB?a,CA?b,AB?C,， 由三角形法则有c?a?b 合作探究 学生对向量知识可能ba cB 遗忘，注意复习；在利用数量积时，角度可能出现错误，出现不同的表示形式，让学生从错误中发现问题，巩固向量知识，明确向量工具的作用。同时，让学生明确数学中的转化思想：化未知为已知。 c?c?c?a?b?a?b　　?a?a?b?b?2a?b　　?a2?b2?2abcosc2????C 即：△ABC中:c2?a2?b2?2abcosc同理，让学生利用相同方法推导， a2?b2?c2?2bccosA,b2?a2?c2?2acosB 余弦定理：a2?b2?c2?2bccosA 归纳概括 b2?a2?c2?2accosB c?a?b?2abcosC 222知识归纳比较，发现特征，加强识记 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 结构分析 观察余弦定理，指明了三边长与其中一角的具体关系，使学生明确对应关系，并发现a与A，b与B，C与c之间的对应表述，同时发现三边长的平方在余弦定理中同时出现 b2?c2?a2余弦定理的推论：cosA? 2bca2?c2?b2a2?b2?c2cosB? cosC? 2ac2ab树立方程思想，解决“边、角、边”问题 知识联系 解决“边、边、边” 问题 用准确的量化关系去方法怎样准确地解答引入中的两个问题？ 应用 怎样利用已知条件判断三角形的形状？ 解决问题，用边长去判断三角形形状，勾股定理是余弦定理特例。 应用数学知识求解问例1：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm， A＝41°，求解三角形（角度精确到1°，边长精确到知识1cm） 应用 例2：在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形（角度精确到1′） 题加强计算器的运算 功能，同时，巩固好正弦定理，余弦定理知识，发现两种知识方法在解三角形中的综合应用。 继续深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解问题优越于余弦定理。并让学6例3：已知△ABC中a?3,b?3,sinA?求c边长 3知识深化 分析：（1）用正弦定理分析引导 （2）应用余弦定理a2?b2?c2?2bccosA构造关生初步发现“边、边、于C的方程求解。 问题解法，为下节（3）比较两种方法的利弊。能用正弦定理解决的角”学习辅垫。 问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。 1、某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车的距离d2之间关系为（ ） 用练习去巩固所学知A：d1>d2 B：d1= d2 练习检测 C：d1< d2 D：大小不确定 2、锐角△ABC中b＝1，c＝2，则a取值为（ ） A：（1,3） B：（1,3） C：（3，2） D：（3，5） 3、在△ABC中若有acosA?bcosB，你能判断这个三角形的形状吗？若acosB?bcosA呢？ 识，使学生逐步形成良好的知识结构，加强数学知识应用能力的培养。 1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题？各有什么通过知识回顾，使学生利与弊？ 小结 2、从本课中你学到了哪些知识和方法？ 各自体会收获。 课堂1、推导余弦定理及其推论 板书2、例3、例4 设计 3、练习指导 4、小结投影正弦、余弦定理，比较它们理解知识 作业1、讨论余弦定理的其它解法设计思路。 设计 2、第11页A组3、4题 巩固知识 多角度看待问题 六、教学反思

本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方法解决一些实际问题。学生应用数学的意识不强，创造力不足、看待问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构。