建模题 微分方程模型 小组1

数 学 建 模

微分方程模型

组 别 第1组

学生一 电力131 刘乐

学生二 新能131 怡广志 学生三 新能131 加乐乐 时 间 2015年5月11日

作 业 一：

传染病的微分方程模型

一﹑问题摘要

关键词：

二﹑问题重述

一艘游船载有1000人,一名游客患了某种传染病，10小时后有2人被传染发病。由于这种传染病没有早期症状，故传染者不能被及时隔离。假设直升飞机将在50至60小时将疫苗运到，试估算疫苗运到时患此传染病的人数。

三﹑问题分析

假设y(t)为发现第一个传染病人后t小时时刻的传染人数，则y(t)对时间t的导数dy/dt可以描述该传染病的传染速率。常识表明，传染病的传染速率既受到传染人数的影响，又受未被传染人数的影响。在一般情况下，传染人数越多，传染速度越快（因为有很多的传染源）；未被传染人数越多，传染速度越快（因为会有很多的人传染）。 因此其影响关系都为正比关系。

本题中在t时刻未被传染的人数为1000- y(t),于是可以用微分方程描述传染速率：

dy/dt=ky(1000-y),y(0)=1,y(10)=2,（k为比例常数）

四﹑符号和变量说明

t：发生传染后的的时间

y（t）：发现第一个传染病人后t小时时刻的传染人数 dy/dt：传染病的传染速率

五﹑模型建立

在MATLAB中，建立微分方程Dy/dt=ky(1000-y) ,k为比例常数，根据初值y(0)=1,y(10)=2 ，求解此微分方程后，代入t=50，和t=60，

即为50,60小时后感染人数

六﹑模型求解 MATLAB程序：

clear;

s=dsolve('Dy=k*y*(1000-y)','y(0)=1','y(10)=2'); y=simplify(s)

结果为：

y=piecewise([k == log(999)/10000 - log(499)/10000, {(1000*999^(t/10))/(999*499^(t/10) + 999^(t/10))}], [k = log(999)/10000 - log(499)/1000

0, )

其中k=0.0694149/1000 y(t)=1000/(1+999*e^(-0.0694149*t)) 代入y（50）=32，y（60）=61.

输出图形如下：

七﹑结果分析

因此，在t=50小时患此传染病的人数约为32人，在t=60小时患此传染病的人数约为61人。从这些数字可以看到，从50小时到60小时这10小时之间，被传染发病的人数几乎翻了一倍，因此在传染病流行期间应该及时采取措施是很重要的。如果不采取措施，通过y(t)的图形可以看到，当t在50~150小时之间传染最快，且当t趋于无

穷大时，y(t)趋于1000人，即导致全游艇任素华都被传染

八﹑模型的评价与推广

作业二：

假定某公司的净资产因资产本身产生了利息而以4%的年利率增长，同时，该公司以每年100万的数额支付职工工资。净资产的微分方程为

dw=0.04w-100 (t以年为单位) dt分别以初始值w(0)=1500万元，2500万元，3500万元，用Euler法公式预测公司24年后的净资产趋势（取h=1），并画出三条净资产趋势曲线。 解：