湖南师大附中高三数学上学期第一次月考试卷 文(含解析

湖南师大附中2015届高三上学期第一次 月考数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知a是实数，

是纯虚数，则a等于（）

A． ﹣1 B． 1 C． D．

2

2．（5分）极坐标方程ρcosθ=4sin θ所表示的曲线是（） A． 一条直线 B． 一个圆 C． 一条抛物线 D． 一条双曲线 3．（5分）设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，则“x∈A且x?B”成立的充要条件是（） A． ﹣1＜x≤1 B． x≤1 C． x＞﹣1 D． ﹣1＜x＜1

4．（5分）如果函数f（x）=sin（（）

A． T=4π，θ=

B． T=4，θ=

C． T=4，θ=

D． T=4π，θ=

x+θ）（0＜θ＜π）是最小正周期为T的偶函数，那么

5．（5分）已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是（） A． 若α∥b，β∥b，则α∥β B． 若α∥a，α∥b，则a∥b C． 若a⊥α，b⊥β，则α∥β D． 若a⊥α，a⊥β，则α∥β

22

6．（5分）若ax+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则对于函数f（x）=ax+bx+c应有（） A． f（5）＜f（2）＜f（﹣1） B． f（5）＜f（﹣1）＜f（2） C． f（﹣1）＜f（2）＜f（5） D． f（2）＜f（﹣1）＜f（5） 7．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（） A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 由增加的长度决定

8．（5分）若＜＜0，则下列不等式中不正确的是（） A． ab＜b

2

B． a+b＜ab C． a＞b

22

D． +＞2

*

9．（5分）已知an=logn+1（n+2）（n∈N），观察下列运算： a1?a2=log23?log34=

?

=2；

?

?…?

=3；…．

a1?a2?a3?a4?a5?a6=log23?log34?…?log78=

- 1 -

若a1?a2?a3?…?ak（k∈N）为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1?a2?a3?…?ak=2 014时，“企盼数”k为（）

2014201420142014

A． 2+2 B． 2 C． 2﹣2 D． 2﹣4

10．（5分）过点（﹣2，0）的直线l与抛物线y=切线互相垂直，则直线l的斜率k等于（） A． ﹣

B． ﹣

C．

D．

相交于两点，且在这两个交点处抛物线的

*

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上． 11．（5分）在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取个．

0.30.3

12．（5分）阅读框图填空：若a=0.8，b=0.9，c=log50.9，则输出的数是．

22

13．（5分）若直线y=kx与圆x+y﹣4x+3=0相切，则k的值是．

14．（5分）函数f（x）=x（e+1）+x，则函数f（x）的单调增区间为．

15．（5分）当n为正整数时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如：N（3）=3，N（10）

n

=5，记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2），则 （1）S（3）=． （2）S（n）=．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（12分）已知函数f（x）=（1）求ω的值； （2）求当x∈（0，

sinωx?cosωx+cosωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．

2

x

2

]时f（x）的值域．

17．（12分）某中学2015届高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：

- 2 -

组序 分组 频数 频率 第一组 [180，210） 5 0.1 第二组 [210，240） 10 0.2 第三组 [240，270） 12 0.24 第四组 [270，300） a b 第五组 [300，330） 6 c （1）求表中的a、b、c的值；

（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，求在第二组学生中应抽取多少人？

（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 18．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，PC=BC=4，AB=2，E、F分别是PB、PA的中点．

（1）求证：侧面PAB⊥侧面PBC；

（2）求三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积．

19．（13分）已知函数f（x）=x+ax﹣（a+2）x+b（a，b∈R）在[﹣1，1]上是减函数． （1）求实数a的取值范围；

（2）设＜a＜1，若对任意实数u、v∈[a﹣1，a]，不等式|f（u）﹣f（v）|≤求实数a的最小值．

20．（13分）如图，已知双曲线

，其右准线交x轴于点A，双曲

恒成立，

3

2

线虚轴的下端点为B．过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足

（1）求双曲线的离心率；

（2）若a=2，过点B作直线l分别交双曲线的左支、右支于M、N两点，且△OMN的面积S△OMN=求l的方程．

，

，

．

- 3 -

21．（13分）设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内整点的个数为

an（横纵坐标均为整数的点称为整点）．

（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值； （2）求数列{an}的通项公式；

*

（3）记数列{an}的前n项的和为Sn，试证明：对任意n∈N恒有

+

+…+

＜

成立．

湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知a是实数，

是纯虚数，则a等于（）

D．

A． ﹣1 B． 1 C．

考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．

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