2013高考数学考点10 导数的应用

而f(x)=t1有三个不同的根,f(x)=t2有两个不同的根,故y?h(x)有5 个零点. ( 11 )当c<2时,f(t)=c有三个不同的根t3，t4，t5,满足ti<2， i=3, 4, 5. 而f(x)=ti ?i=3, 4, 5?有三个不同的根,故y?h(x)有9 个零点.

综上所述,当c=2时,函数y?h(x)有5 个零点;当c<2时,函数y?h(x)有9 个零点.

11.（2012年高考（湖南理））已知函数f(x)=?eax?x,其中a≠0.

(1) 若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合.

(2)在函数f(x)的图像上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1?x2),记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使f?(x0)?k成立?若存在,求x0的取值范围;若不存在,请说明理由.

f(x2)?f(x1)eax2?eax1??1. (Ⅱ)由题意知,k?x2?x1x2?x1eax2?eax1,则 令?(x)?f?(x)?k?ae?x2?x1ax

【方法总结】1.求函数极值的步骤

(1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根．

(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．

(4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.

2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展．从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数y＝f(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大(小)值.

热点三 利用导数研究综合问题

12.（2012年高考（天津文））已知函数f(x)?131?a2x?x?ax?a(a?0) 32(I)求函数f(x)的单调区间;

(II)若函数f(x)在区间(?2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;

(III)当a?1时,设函数f(x)在区间[t,t?3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记

g(t)?M(t)?m(t),求函数g(t)在区间[?3,?1]上的最小值.

13.（2012年高考（陕西文））设函数fn(x)?x?bx?cn(n?N?,b,c?R)

(1)设n?2,b?1,?1?c??1,证明:fn(x)在区间?,1?内存在唯一的零点;

?2?(2)设n为偶数,f(?1)?1,f(1)?1,求b+3c的最小值和最大值;

(3)设n?2,若对任意x1,x2?[?1,1],有|f2(x1)?f2(x2)|?4,求b的取值范围; 【解析】（Ⅰ）当b?1，c??1，n?2时，fn(x)?xn?x?1

?fn()fn(1)?(12111内存在零点． ?)?1?0，?f(x)在（，1）n2n22 又当x?(,1)时，fn'(x)?nxn?1?1?0，

?fn(x)在（1211，1）上是单调递增的，?fn(x)在（，1）内存在唯一零点． 22

??f??1??1?b?c， 解法三：由题意，知?

??f?1??1?b?c. 解得b?f?1??f??1?f?1??f??1??2，b?．

22 ∴b?3c?2f?1??f??1??3．

又∵?1?f??1??1，?1?f?1??1，∴?6?b?3c?0． 当b?0，c??2时，b?3c??6；当b?c?0，b?3c?0． ∴b?3c的最小值是-6，最大值是0． （2）当n?2时，f2(x)?x?bx?c．

对任意x1,x2?[?1,1]都有f2(x1)?f2(x2)?4等价于f2(x)在[?1,1]上的最大值 与最小值之差M?4,据此分类讨论如下：

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