2013高考数学考点10 导数的应用

设a?1,集合A??x?Rx?0?,B?x?R2x2?3?1?a?x?6a?0,D?A?B.

(Ⅰ)求集合D(用区间表示);

(Ⅱ)求函数f?x??2x3?3?1?a?x2?6ax在D内的极值点.

??综上所述,当时

,

111?a?1时,D?A??0,???;当a?时,D??0,1???1,???;当0?a?333;

当

D??0,x1???x2,???a?0时,

D??x2,???.其中

x1?3?1?a??3?a?3??3a?1?4,x2?3?1?a??3?a?3??3a?1?4.

(Ⅱ)f??x??6x2?6?1?a?x?6a,令f??x??0可得?x?a??x?1??0.因为a?1,所以

f??x??0有两根m1?a和m2?1,且m1?m2.

①当

1?a?1时,D?A??0,???,此时f??x??0在D内有两根m1?a和m2?1,列表3可得

x ?0,a? + a 0 ?a,1? - 1 0 ?1,??? + f??x?

f?x? 递增 极小值 递减 极大值 递增 所以f?x?在D内有极大值点1,极小值点a. ②当a?11时,D??0,1???1,???,此时f??x??0在D内只有一根m1?a?,列表可得 33?1??0,? ?3?+ 递增 x 1 30 极小值 ?1??,1? ?3?- 递减 ?1,??? + 递增 f??x? f?x? 所以f?x?在D内只有极小值点a,没有极大值点. ③当0?a?1时,D??0,x1???x2,???,此时0?a?x1?1?x2(可用分析法证明),于是3f??x??0在D内只有一根m1?a,列表可得

x ?0,a? + 递增 a 0 极小值 ?a,x1? - 递减 ?x2,??? + 递增 f??x? f?x? 所以f?x?在D内只有极小值点a,没有极大值点.

9.（2012年高考（江西文））已知函数

f(x)?(ax2?bx?c)ex在?0,1?上单调递减且满足

f(0)?1,f(0)?0.

(1)求a的取值范围;

(2)设g(x)?f(?x)?f?(x),求g(x)在?0,1?上的最大值和最小值. 【解析】(1)由f(0)?c?1,f(1)?0?c?1,a?b??1,则

f(x)?[ax2?(a?1)x?1]ex,f'(x)?(ax2?(a?1)x?a)ex,依题意须对于任意x?(0,1),

有f?(x)?0,当a?0时,因为二次函数y?ax?(a?1)x?a的图像开口向上,而

2f?(0)??a?0,所以须f?(1)?(a?1)e?0,即0?a?1,当a?1时,对任意x?(0,1),

有

f?(x)?(x2?1)ex?0,符合条件;当a?0时,对任意

x?(0,1),f?(x)??xex?0,f(x)符合要求,当a?0时,因f?(0)?a?0,f(x)不符

合条件,故a的取值范围为0?a?1.

(2)因g(x)?(?2ax?1)e,g?(x)?(?2ax?1?a)e

当a?0时,g?(x)?e?0,g(x)在x?0上取得最小值g(0)?1,在x?1上取得最大值g(1)?e;

当a?1时,对于任意x?(0,1),有g?(x)??2xe?0,g(x)在x?0上取得最大值

xxxxg(0)?2,在x?1上取得最小值g(1)?0;

当0?a?1时,由g?(x)?0?x?1?a?0, 2a10.（2012年高考（江苏））若函数y?f(x)在x?x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y?f(x)的极值点.

已知a，b是实数,1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点. (1)求a和b的值;

(2)设函数g(x)的导函数g?(x)?f(x)?2,求g(x)的极值点;

(3)设h(x)?f(f(x))?c,其中c?[?2，2],求函数y?h(x)的零点个数. 【解析】(1)由f(x)?x3?ax2?bx,得f'(x)?3x2?2ax?b.

∵1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点,

∴ f'(1)?3?2a?b=0,f'(?1)?3?2a?b=0,解得a=0，b=?3.

(3)令f(x)=t,则h(x)?f(t)?c.

先讨论关于x 的方程f(x)=d 根的情况:d???2, 2?

当d=2时,由(2 )可知,f(x)=?2的两个不同的根为I 和一2 ,注意到f(x)是奇函数,∴f(x)=2的两个不同的根为一和2.

当d<2时,∵f(?1)?d=f(2)?d=2?d>0,f(1)?d=f(?2)?d=?2?d<0 , ∴一2 , -1,1 ,2 都不是f(x)=d的根. 由(1)知f'(x)=3?x?1??x?1?.

① 当x??2，???时,f'(x)>0 ,于是f(x)是单调增函数,从而f(x)>f(2)=2. 此时f(x)=d在?2，???无实根.

② 当x??1 2，?时.f'(x)>0,于是f(x)是单调增函数. 又∵f(1)?d<0,f(2)?d>0,y=f(x)?d的图象不间断, ∴f(x)=d 在(1 , 2 )内有唯一实根.

同理,f(x)=d在(一2 ,一I )内有唯一实根.

③ 当x???1 ，1?时,f'(x)<0,于是f(x)是单调减两数. 又∵f(?1)?d>0, f(1)?d<0,y=f(x)?d的图象不间断, ∴f(x)=d在(一1,1 )内有唯一实根.

x2=2;当d<2 时 因此,当d=2时,f(x)=d有两个不同的根x1，x2满足x1=1， i=3, 4, 5. f(x)=d有三个不同的根x3，x1，x5,满足xi<2，现考虑函数y?h(x)的零点:

t2=2. ( i )当c=2时,f(t)=c有两个根t1，t2,满足t1=1，