2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略课时作业： 16圆锥曲线的综合问题 Word版含解析

课时作业 16 圆锥曲线的综合问题 x221．[2019·河北邢台模拟]已知椭圆2＋y＝1上两个不同的点A，B1关于直线y＝mx＋2对称． (1)求实数m的取值范围； (2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)． 1解析：(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－mx＋n.由2x2?＋y?2＝1，?11?22n消去y，得?2＋m2?x－mx＋n2－1＝0. ???1??y＝－mx＋n，1x22因为直线y＝－mx＋n与椭圆2＋y＝1有两个不同的交点，所以Δ42＝－2n＋2＋m2>0，① ?2mnm2n?1，将AB的中点M的坐标?m2＋2m2＋2?代入y＝mx＋2，解得n＝??m2＋2－2m2，② 66由①②得m<－3或m>3. ??6??6???故m的取值范围是－∞，－∪，＋∞?. 33????3??1?6??6?2?????(2)令t＝m∈－，0∪0，，则t∈0，2?. 22??????342－2t＋2t＋2|AB|＝t2＋1×， 1t2＋21t2＋2点O到直线AB的距离d＝2. t＋1设△AOB的面积为S(t)， 1??112则S(t)＝2|AB|·d＝2 －2?t2－2?2＋2≤2， ??

3??12?当且仅当t＝2时，等号成立，此时满足t∈0，2?. ??2故△AOB面积的最大值为2. x2y22．[2019·上海静安区模拟]设m>0，椭圆Γ：3m＋m＝1与双曲线C：m2x2－y2＝m2的焦点相同． (1)求椭圆Γ与双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，分别交双曲线C于点P，Q(P，Q不同于右顶点)，若k1·k2＝－1，求证：直线PQ的斜率为定值，并求出此定值． 解析：(1)由题意，得2m＝m2＋1，所以m＝1. x22所以椭圆Γ的方程为3＋y＝1，双曲线C的方程为x2－y2＝1. (2)双曲线C的右顶点为(1,0)，因为k1·k2＝－1， 不妨设k1>0，则k2<0. 设直线l1的方程为y＝k1(x－1)． ??y＝k1?x－1?，222由?22得(1－k21)x＋2k1x－k1－1＝0， ?x－y＝1，?2k1＋1则1·xP＝2， k1－12?k2?k1＋12k11＋1??－1得xP＝2，yP＝k12＝2. k1－1?k1－1?k1－1k22k22＋1同理，xQ＝2，yQ＝2， k2－1k2－1又k1·k2＝－1， 2k2＋1k22k2－2k11＋1所以xQ＝2＝－2＝－xP，yQ＝2＝＝yP. k2－1k1－1k2－11－k21因为yP＝yQ，所以直线PQ与x轴平行，即kPQ为定值0. 3．[2019·江西南昌重点中学段考]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N. (1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值； (2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程． 解析：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0， 则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.① 2

xx1x22(1)由x＝2py得y′＝p，则A，B处的切线斜率的乘积为p2＝－p， ∵点N在以AB为直径的圆上， 2∴AN⊥BN，∴－p＝－1，∴p＝2. x1x2(2)易得直线AN：y－y1＝p(x－x1)，直线BN：y－y2＝p(x－x2)， x1?y－y＝?1p?x－x1?，联立，得?结合①式， x2??y－y2＝p?x－x2?，2 ??x＝pk，解得?即N(pk，－1)． ?y＝－1，? |AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋k2?x1＋x2?2－4x1x2＝1＋k2·4p2k2＋8p， |kxN＋1－yN||pk2＋2|点N到直线AB的距离d＝＝22， 1＋k1＋k1则S△ABN＝2·|AB|·d＝p?pk2＋2?3≥22p，当且仅当k＝0时，取等号， ∵△ABN的面积的最小值为4， ∴22p＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y. x2y24．[2019·贵州贵阳监测]已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦→→点分别为F1，F2，为M为短轴的上端点，MF1·MF2＝0，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，|AB|＝2. (1)求椭圆C的方程； (2)设经过点(2，－1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G，H两点，若k1，k2分别是直线MG，MH的斜率，求k1＋k2的值． →→解析：(1)由MF1·MF2＝0，得b＝c， x2y2b2将x＝c代入a2＋b2＝1中，得y＝±a， 2b2因为|AB|＝2，所以a＝2， 又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝1， x22故椭圆C的方程为2＋y＝1.

(2)根据题意设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)(k≠－1)，即y＝kx－2k－1(k≠－1)， x22将y＝kx－2k－1代入2＋y＝1中，得 (1＋2k2)x2－4k(2k＋1)x＋8k2＋8k＝0， 由题意知Δ＝－16k(k＋2)>0，得－20)和圆C2：(x＋1)2＋y2＝2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切． (1)求p的值； (2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切→→→线l2交y轴于点B，设MN＝MA＋MB，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程． p解析：(1)依题意，设直线l1的方程为y＝x＋2， 因为直线l1与圆C2相切， p???－1＋?2?p?所以圆心C2(－1,0)到直线l1：y＝x＋2的距离d＝2 2＝2，1＋?－1?p???－1＋?2??即＝2，解得p＝6或p＝－2(舍去)． 2所以p＝6. (2)解法一 依题意设M(m，－3)， 2x由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y，所以y＝12， x所以y′＝6，