2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5节椭圆教学案含解析理

第五节 椭 圆

[考纲传真] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．

1．椭圆的定义 FFFF|)大于|，的点的轨迹叫做椭圆．这两个的距离的和等于常数(平面内与两个定点

点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

2121

定

2112

PMMFMFaFFcacac为常数： >0，|，，|＝集合2＝{>0|||＋|，其中|＝2，且}acP为椭圆． (1)若，则集合＞ acP为线段． (2)若，则集合＝ acP为空集． (3)若，则集合＜

2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 22yxb a>0)>＋＝1(ba 2222xyab>0) >＋＝1(ba 22 图形 aax ≤，－≤bxbaya ≤≤≤≤范围 ，－－byb ≤－≤ 对称轴：坐标轴；对称中心：原点对称

性

性质Aa,Aa,AaAaB(－，) ，(0(，0)，(0，－，)(－0)()

(0，－0))，，(0，cee 离心率∈(0,1)，且 ＝aabaccb的关系，－＝，

212

222

11122

顶点BbBbb,Bb,0)

[常用结论]

与椭圆定义有关的结论

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yxabPxyyFc,Fc,0)(0)(，，)(为顶点的≠0)和焦点(－＋以椭圆＝1(>上一点>0)abPFFFPF＝θ，则△ 中，若∠PFPF|＝2a. (1)||＋|PFPFPFcPF.

2000122

2112

21222

－||(2)4＝|＋|2|θ|||·cos

2121．

1SPFFPFPFybPSPFF取最大值，，当|(3)为短轴端点时，△|＝＝|△||，即|·sin θ 为ac)．2( ＋(4)焦点三角形的周长为FABABF的周长为，则△的弦4a.

(5)已知过焦点[基础自测]

21

2212011

2bc.

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) FF的距离之和等于常数的两个定点点，的轨迹是椭面(1)平内与

21

圆． ( ) PFFPFFaca为椭圆的长半轴长，其中((2)椭圆上一点的周长为与两焦点2，2构成△＋c为椭圆的半焦距)． ( ) e越大，椭圆就越圆． ( ) (3)椭圆的离心率nnmmxnym( ) 0，)＝1(≠＞0，表示的曲线是椭圆．(4)方程＞＋ (4)√ (2)√ (3)×[答案] (1)×yxPFPFFPF||

2121

22

22

＋|是椭圆的两个焦点，则2．(教材改编)设|是椭圆＋＝1上的点，若，等于10

D．C．8 A．4 B．5

2211

1625( )

PFPF|＝2×5＝10.]

|＋D [依椭圆的定义知：||yxm( )

2122

mm3－5＋5,3) B(－

3,5) ．(－A． D C．(－3,1)∪(1,5) ．(－5,1)∪(1,3)m，－>05??m?，＋3>0mm≠1.] <5解得－ [由方程表示椭圆知3<且C??mm，3≠＋－5xymFm( ) 4,0)，则＋＝1(＝>0)的左焦点为－(4．已知椭圆 m259

的取值范围是3．若方程＋＝1表示椭圆，则

22

12

D．4 ．2 B．3

C．AFcammm>0，故3或－3.5＝，∴25－又＝16，解得＝4,0)B [由左焦点为(－知4.＝又m＝3.]

2

1

1F(1,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为教材改编)已知椭圆的一个焦点为________． (5． 2yxyxabF(1,0)，离>0)．因为椭圆的一个焦点为1(＝＋[1＋＝ 设椭圆的标准方程为>

2222

ba34．

22

．6

c，＝1

??

ca，＝＝22?cyx11?e，＝1.]

22

?

＋＝心率解得＝，所以故椭圆的标准方程为? a2324b，＝3??

2

??

222

cab，＝＋

2

2

椭圆的定义与标准方程xAyBCABC是椭圆的一个焦点，且椭圆的另1在椭圆＋1．已知△上，顶点的顶点，＝

3ABCBC( )

边上，则△的周长是外一个焦点在12 C．43

DA．23 B．BFaFBA＝|＝3.设椭圆的另一个焦点为＋，则由椭圆的定义得||C [由椭圆的方程得|BABABFCFCACACFaABCBABCCA|＝＋|(||||＋|＋|＝||||＋|＋|＝|2|，所以△|的周长为|||＋aaCFCABFa3.]

4＝24＋|＋|)＋(|2＝|＋|＝|)CCxyCxy，动圆在圆＝－4)＋4)＝169，＋：(9)2．(2019·济南

2222

调研已知两圆＋：(MCC( )

112

yyxx1 ＝B.＋A.－＝1

C.D.1 ＋＝－＝ 64486448yyxx1 48486464MCCrMMCMCrr的轨，所以

＝－|)＋(3＋|D [设圆)的半径为，则|＝|＋|16>8|＝(13yxcCaC1.] 为焦点的椭圆，且 2＋＝16,2＝＝迹是以8，，故所求的轨迹方程为 4864yxCPFCabF为椭圆的两个焦点，：＋＝1(＞3．(2019·徐州模拟)已知＞、0)是椭圆 babFPFPFPF________. 上的一点，且⊥9，若△，则＝的面积为arr，＋2＝??arrrrrrPFPFrr4)－((＋＋＝ 所以[ 设||＝，|2|＝，则)＝3?crr，＝4＋??1bbPFFrrcbS3.]

相内切，和圆的轨迹方程为相外切，则动圆圆心内部且和圆

2222

212222221122

21

22

2211

2122

212222

221211112222221222

9＝，所以＝－4＝＝4＝，所以△ 253????，－，(．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点3，5)，则4 ??22椭圆方程为________．

2112

????nm－，＋1＝xy ????22?nmxnynmm解)．由1([1＋＝ 设椭圆方程为

＋＝，>0，≠ 610??nm，1＝5＋3．

22

22

22

53??????

11nm.

106xy1.]

＋＝∴椭圆方程为 610

得＝＝，

22

] 1.椭圆定义的应用技巧[规律方法椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最(1) 值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． ．求椭圆标准方程的常用方法2 求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(1)FFa，(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2焦点位置>|)|；利用待定系数法要先定形(nmmxnynm )>0，＋的形式．＝1(>0，再定量，也可把椭圆方程设为≠ 2122

22

椭圆的几何性质 1 求离心率的值或取值范围?考法yx( ) 椭圆(1)(2017·浙江高考)＋＝1的离心率是【例1】

A.B. 3352 D.C. 93PP 49513

则此椭圆离心率的取值到两个焦点的距离之比为，使得点(2)若椭圆上存在点2∶1，( ) 范围是1111????????，， B.A. ????234311????????1，，1 C. D. ????33yx(1)B (2)D [(1)∵椭圆方程为＋＝1， 94baac5. ＝93，＝－－4＝∴＝c5e. ∴＝＝ a3B.

22

22

故选akkPk，又结合椭圆的性＝2到两个焦点的距离分别为2，，根据椭圆定义可知：3(2)设1eackcc又≤62≤22质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为，即，∴，即≥. 3．

1ee<1.]

<1，∴∵0<≤ 3 根据椭圆的性质求参数的取值范围问题?考法2 yxmx( )

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4，则＝1【例2】 (1)已知椭圆的长轴在等于＋轴上，焦距为．8 B．．6 D．5

mm－－1027

ACyx1AxeF分别是＝1的离心率，＝(2)(2019·合肥质检)如图，焦点在，轴上的椭圆＋

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b24→→PAPPF 的最大值为是椭圆上任意一点，则________·．椭圆的一个焦点和顶点，