复变函数知识点梳理

第一章：复数与复变函数

这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念，大部分内容与实变函数近似，不难理解。

一、 复数及其表示法

介绍复数和几种新的表示方法，其实就是把表示形式变来变去，方便和其他的数学知识联系起来。

二、 复数的运算

高中知识，加减乘除，乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。

三、 复数形式的代数方程和平面几何图形

就是把实数替换成复数，因为复数的性质，所以平面图形的方程式二元的。

四、 复数域的几何模型——复球面

将复平面上的点，一一映射到球面上，意义是扩充了复数域和复平面，就是多了一个无穷远点，现在还不知道有什么意义，猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。

五、 复变函数

不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标，复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标，所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。

六、 复变函数的极限和连续性

与实变函数的极限、连续性相同。

第二章：解析函数

这一章主要介绍解析函数这个概念，将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。

一、解析函数的概念

介绍复变函数的导数，类似于实变二元函数的导数，求导法则与实变函数相同。

所谓的解析函数，就是函数处处可导换了个说法，而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是：μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数，这就是柯西黎曼方程。

二、解析函数和调和函数的关系

出现了新的概念：调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数，而这两个调和函数互为共轭调和函数。

三、初等函数

和实变函数中的初等函数形式一样，但是变量成为复数，所以有一些不同的性质。

第三章：复变函数的积分

这一章，主要是将实变函数的积分问题，在复变函数这个体系里进行了系统的转化，让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。

一、复积分的概念

复积分就是复变函数的积分，实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。

二、柯西积分定理

意思就是如果复变函数在区域内处处解析，则沿任意封闭曲线的积分为0.我感觉类似于格林公式，又有点像大物里的无旋场。 这里有两个重要的推论，闭合变形原理和复合闭路定理。

三、柯西积分公式

用柯西积分定理的推论推导出来的一个公式，揭示了解析函数可以由复积分表示。为求解复积分提供了一种途径。

四、解析函数的高阶导数

讲了复变函数和实变函数完全不同的一点，解析函数的高阶导数是必然存在的。还解释了几个定理公式：柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理。

第四章：级数

实数范围内的级数问题的拓展，研究对象从实数换成了复数。

一、复数项级数

复数项级数，在我看来，就是两个实数项级数凑成一组，但是求解问题时还是要分开解决。这部分的问题和实数项级数没有什么差别，就是一个变成了两个。

二、幂级数

这部分内容基本是原原本本的把实数范围的幂级数概念抄了一遍，多了阿贝尔定理和收敛圆、收敛半径等新概念，需要时间吸收。

三、泰勒级数

将实数的泰勒级数概念，转化为了复数的泰勒级数概念，将解析函数展开为幂级数的方法类似，同时因为复数的一些性质，让原本在实数范围内泰勒级数的一些东西变得容易理解。

四、洛朗级数

因为泰勒级数的定义，使得解析函数无法在指定点的去心邻域内展开，所以发展出了洛朗级数。而洛朗级数的实质还是泰勒级数。