10 第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性

第十节 连续函数的运算与性质

分布图示

★ 连续函数的运算 ★ 复合函数的连续性

★ 例2

★ 初等函数的连续性 ★ 幂指函数（例6） ★ 最大值和最小值定理

★ 例7

★ 一致连续的概念 ★ 内容小结 ★ 习题 1- 10 ★ 返回

★ 反函数的连续性 ★ 例1 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5

★ 零点定理与介值定理 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 课堂练习

内容要点

一、连续函数的算术运算

定理1 若函数f(x),g(x)在点x0处连续, 则

cf(x)(c为常数）,f(x)?g(x),f(x)?g(x),f(x)(g(x0)?0)在点x0处也连续. g(x) 二、 反函数与复合函数的连续性

定理2 若函数y?f(x)在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，则它的反函数x??(y)也在对应的区间Iy?{y|y? f(x),x?Ix}上单调增加（或单调减少）且连续.

定理3 若lim?(x)?a, 函数f(u)在点a出连续, 则有

x?x0x?x0limf[?(x)]?f(a)?f[lim?(x)]. (10.1)

x?x0定理4 设函数u??(x)在点x0连续, 且?(x0)?u0, 而函数y?f(u)在点u?u0连续, 则复合函数f[?(x)]在点x0也连续.

三、初等函数的连续性

定理5 基本初等函数在其定义域内是连续的. 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

注：定理6的结论非常重要，因为微积分的研究对象主要是连续或分段连续的函数. 而一般应用中所遇到的函数基本上是初等函数，其连续性的条件总是满足的. 从而使微积分具有强大的生命力和广阔的应用前景.

四、闭区间上连续函数的性质：最大最小值定理 有界性定理 零点定理 介值定理

例题选讲

反函数与复合函数的连续性

例1 (E01) 求 limln(1?x).

x?0x11??ln1(?x)x?limln1(?x)?ln?lim(1?x)x??lne?1. 解 limx?0x?0x?0x????

例2 求 limcos(x?1?x).

x???(x?1?x)(x?1?x)?解 limcos(x?1?x)?cos?lim? x??x??x?1?x??????1?cos?lim??cos0?1. x??x?1?x??

ax?1. 例3 求 limx?0x解 令ax?1?y,则x?loga(1?x)?易见当x?0时 , y?0,所以

ylnaax?1?limlim?limy?0ln(x?01?y)y?0xln(1?y), lnalnaln(1?y)1y?lna.

例4 (E02) 求 解 因为

3lim(1?2x)sinxx?03lim(1?2x)sinxx?0.

11??6n2x)2xsix3n(1?2x)six?(1?, 所以

?1?lim?(1?2x)2xx?0?x?6?sinx?????e6.

初等函数的连续性

ex例5 (E03) 求 lim.

x?22x?1exex解 因为f(x)?是初等函数，且x0?2是其定义区间内的点，所以f(x)?在

2x?12x?1e2exe2??. 点x0?2处连续，于是 limx?22x?12?2?15

例6 (E04) 求

1lim(x?2ex)x?1x?0.

limx?11解 lim(x?2e)x?0x1x?1?[lim(x?2ex)]x?0x?01?2?1?.

2

闭区间上连续函数的性质

例7 (E05) 证明方程x3?4x2?1?0在区间(0, 1)内至少有一个根.

证 令f(x)?x3?4x2?1,则f(x)在[0,1]上连续 .又f(0)?1?0,f(1)??2?0, 由零点定理 , ???(0,1),使f(?)?0,即?3?4?2?1?0.

?方程x3?4x2?1?0在(0,1)内至少有一个实根?.

例8 (E06) 设函数f(x)在区间[a, b]上连续, 且

f(a)?a,f(b)?b

证明: 存在??(a,b), 使得 f(?)??.

证 令F(x)?f(x)?x,则F(x)在[a,b]上连续 .

而F(a)?f(a)?a?0,F(b)?f(b)?b?0,由零点定理 , ???(a,b),使

F(?)?f(?)???0.

即f(?)??.

例9 证明方程

111???0 x?1x?2x?3有分别包含于(1, 2), (2, 3) 内的两个实根.

证 当x?1,2,3,用(x?1)(x?2)(x?3)乘方程两端，得

(x?2)(x?3)?(x?1)(x?3)?(x?1)(x?2)?0.

设f(x)?(x?2)(x?3)?(x?1)(x?3)?(x?1)(x?2),则

f(1)?(?1)?(?2)?2?0,f(2)?1?(?1)??1?0,f(3)?2?1?2?0, 由零点定理知，f(x)在(1,2)与(2,3)内至少各有一个零点，即原方程在(1,2)与(2,3)内至少各有一个实根 .

一致连续性

例10 证明函数f(x)?sinx在(??,??)内是一致连续的.

证 因为 |sinx1?sinx2|?2cosx1?x2x?x2x?x2sin1?2sin1?|x1?x2|, 222所以对于任给??0,只要取???,对(??,??)内的任意两点x1,x2,当|x1?x2|??时，就有 |sinx1?sinx2|??.

因此sinx在(??,??)内是一致连续的 .

注：由一致连续的定义可以知道，如果函数f(x)在区间I上一致连续，则f(x)在区间上必定连续 .但是反过来不一定成立 .

例11 试说明函数f(x)?证 因为函数f(x)?1在区间(0,1]上是连续的,但不是一致连续的. x1是初等函数，它在区间(0,1]上有定义，所以在(0,1]上是连续的 . x1在(0,1]上一致连续，应该???0,使得对于(0,1]上的任意两x???0(0???1),假设f(x)?个值x1,x2,当|x1?x2|??时，就有|f(x1)?f(x2)|??.

11现在取原点附近的两点x1?,x2?(n?N),显然x1,x2?(0,1].

nn?1111?, 因|x1?x2|??nn?1n(n?1)故只要n取得足够大，总能使|x1?x2|??.但这时有

|f(x1)?f(x2)|?11?|n?(n?1)|?1??, ?1/n1/(n?1)不符合一致连续的定义，所以f(x)?

1在(0,1]上不是一致连续的 . x课堂练习

1. 设f(x)?sgnx,g(x)?1?x2, 试研究复合函数f[g(x)]与g[f(x)]的连续性. 2. 估计方程x3?6x?2?0的根的位置.