抽样区间估计与本容量计算释疑

抽样区间估计与样本容量计算释疑

抽样推断是统计学的基本方法之一，也是统计学原理的重点学习内容之一。抽样调查特点、抽样平均误差影响因素、抽样参数估计、抽样样本容量确定等构成了这一章的重点内容，而其中的参数估计与样本容量确定则是计算的重点。本文拟通过案例与初学者谈谈如何进行抽样估计，如何确定样本容量。

[例1]某市统计部门为了解全市居民年消费支出情况，从全市20万户居民中随机抽取1000户居民进行调查，经计算平均每户年生活费支出为1.8万元，标准差0.9万元。

要求：⑴以95.45%(t=2)的概率保证程度估计户均生活费支出的区间。

⑵估计全市居民消费总支出区间。

x?1.8,??0.9,t?2,N?200000,n?1000?2n0.81平均误差?x?(1?)?(1?0.5%)?0.028万元nN1000[解题过程]已知

极限误差?x?t?x?2?0.028?0.056万元 户均年支出区间：[1.8-0.056,1.8+0.056]万元=[1.744,1.856]万元 全市居民消费总支出区间：20万户×[1.744,1.856]万元=[3.488,3.712]亿元

[几点说明]（1）一般而言，抽样区间估计的基本步骤是：点估计、平均误差、极限误差、置信区间。本例就是标准的均值参数区间估计题型。由于样本均值与标准差是已知的，所以无需计算点估计值。（2）本题计算时，必须注意“方差”与“标准差”的区别，不要将标准差当作方差来使用。（3）社会经济问题抽样调查一般都是采用不重复抽样的，只有当总体单位总数N未知或n/N的比重很低时，才可以采用重复抽样平均误差公式来计算平均误差。（4）估计总量指标时，可直接将样本均值的区间乘上全及总体单位总数N即可。

[例2]某企业为了解本市居民对某类保健品的看法，采用简单随机抽样方式，从全市居民户中随机抽取500人进行调查结果如下：

对该类保健品的态度 喜欢 一般性 不喜欢 合计 人数 320 100 80 500 要求：以95%的可靠性估计全市居民中“喜欢”该产品的比率（t=1.96）。

n?500,t?1.96,n1?320点估计p?n1/n?320/500?64%[解题过程]已知

极限误差?p?t?p?1.96?0.0215?4.21%平均误差?p?p(1?p)?n0.64?0.36?0.021466?2.15P0 喜欢该类保健品者的比率置信区间为：

[64%-4.21%,64%+4.21%]=[59.79%,68.21%]

[几点说明]（1）本例是标准的成数区间估计题型。其基本步骤同样是：点估计、平均误差、极限误差、置信区间。（2）成数区间估计时最容易犯的错误就是：将N、n、n1相混淆。其实，若用文字表述，应该是“从N中随机抽取n个单位进行观察，有n1个单位是（具有某种特征）……”。并且，不要将抽样估计中提供的“可靠性水平”当作公式中的P来使用。“可靠性水平”值在计算时没有其它

用途，只告诉我们概率密度t的具体取值。（3）本例没有提供全市居民总人数，所以N可视作“无穷大”。所以采用重复抽样的平均误差公式计算抽样误差。 [例3]某企业拟采用抽样技术对当天生产的5000件电子产品的耐用时间进行测试，要求有99%的可靠性（t=2.58）使耐用时间的误差范围不超过20小时。根据生产规格要求，这类电子产品耐用时数的标准差不超过150小时。问：至少应该抽取多少件产品进行质量检查（分别重复抽样与不重复抽样两种情况）。

Nt2?2t2?22.582?1502不重复抽样时的样本容量n?重复抽样时的样本容量n?2??374.4?375?件?2N?2x?t2?2?x205000?2.582?1502??348.3?349?件?5000?202?2.582?1502 [解题过程]已知N=5000，t=2.58，Δx=20,σ=150

[几点说明]（1）本例是样本容量确定的标准题型之一。样本容量确定其实是极限误差计算（参数估计）的反问题，因此其公式就是根据极限误差与平均误差之间的关系推导而来的。因为Δx=tμx,等式两边平方，即有Δx2=t2μx2，在简单随机抽样情况之下，Δx2=t2σ2/n ，从而有上述的公式。（2）对于成数的抽样估计，是非标志的方差σp2=P(1-P),故只要将上述公式中的方差改为P（1-P）即可。（3）样本容量估计时，计算结果总是取整数，小数点无论是否达到0.5均应该进位，故本列中374.4与348.3均进位，分别成为375与349。（4）在样本容量确定时，允许误差或误差范围均是指极限误差Δ。

[例4]某市质量技术监督部门拟对市场上某类牛奶制品的质量（合格率）进行检查，要求在95%的可靠性之下(t=1.96)，合格率的误差范围不超过1%。根据最近三次同类检查，这类产品的合格率分别为98.9%、98.2%、97.8%。问至少应该抽多少件产品进行检验？若允许误差扩大1倍，则应该抽取多少件进行检验？

t2P(1?P)1.962?0.978?0.022样本容量n???826.6?827?件?22?p0.01 [解题过程]已知t=1.96，Δp=1%,P=97.8%

t2P(1?P)1.962?0.978?0.022n???206.7?207?件?22?p0.02当允许误差扩大1倍时，即Δp=2%，于是样本容量：

[几点说明]（1）本例是成数估计时的样本容量确定。虽然实际的质量检验肯定是采用不重复抽样的，但由于市场上该类产品数量未知，可视作无穷大，故采用重复抽样的样本容量公式。（2）本例的关键是公式中P的选择。题中提供了三次同类检查的合格率资料，但一般不能用三者平均数作为P。样本容量确定时通常采取“保守原则”，因此应该取“最大方差”，题中提供的三次调查合格率，其方差分别为98.9%（1-98.9%）=0.010879、98.2%(1-98.2%)=0.011784、97.8%(1-97.8%)=0.021516，故取P=97.8%时方差达到最大，据之计算得出的样本容量也最大，据之作出的调查估计也是“最保守”从而也是最可靠的。（3）但必须注意的是，此例表面上看是取三个合格率的最小者作为P，但切不可据之类推，以为永远是最小的那个比率。例如，本例若改为对“不合格率“的估计，则前三次调查的不合格率是1.1%、1.8%、2.2%，若错误地认为应该取三者中的小者，就会取P=1.1%，但据之计算的方差却不是最大而是最小。此时取P=2.2%才可达到“方差最大”。其实，P=50%时成数方差达到最大值，因此，应该取最接近50%的那个比率作为样本容量公式中的P。（4）对于例3资料，其实也存在着“最大方差”原则问题，即当资料中给出了近几次类似调查的样本方差，则也应该取其中最大者作为公式中的方差σ。（5）当同一次调查需要对两个以上的项目（如平均值与成数）进行估计时，应该分别计算这些项目的必要样本容量，然后取其中之大者作为最终确定的抽样单位数。

[例5]对于简单随机重复抽样，在其它条件不变的情况之下，（1）抽样单位数（样本容量）分别增加1倍、3倍、减少25%、50%，则抽样平均误差分别如何变化；（2）反之，若抽样允许误差缩小20%、50%、扩大50%、100%，则抽样单位数（样本容量）应该如何变化？

[解题过程]（1）设改变要求之前的样本容量为n旧，平均误差记为μ旧，则当样本容量分别增加1倍、3倍、减少25%、50%时，相应的n将分别为：

2n=2n旧、n=4n旧、n=0.75n旧、n=0.5n旧，相应抽样平均误差分别为：

???2n??22n旧?1?2n旧?0.7071?旧

即样本容量扩大一倍，平均误差减少29.29%。

???2n??24n旧1?2??0.5?旧2n旧10.75???2n??20.75n旧??2n旧?1.1547?旧0.5n旧 即样本容量扩大3倍，抽样平均误差减少50%。

即样本容量减少25%，抽样平均误差扩大15.47%。 即样本容量减少50%，抽样平均误差扩大41.42%。

（2）设改变要求之前的允许误差记为Δ旧，相应的样本容量记为n旧，则当抽样允许误差缩小20%、50%、扩大50%、100%，时，相应的Δ分别为：

???2n??20.5n旧?1?2?1.4142?旧t2?2t2?2n?2??1.5625n旧2??0.8?旧?Δ=0.8Δ旧，Δ=0.5Δ旧，Δ=1.5Δ旧，Δ=2Δ旧，，相应样本容量为：

即允许误差减少20%，样本单位数应该扩大0.5625倍。

t2?2t2?2n?2??4n旧2??0.5?旧?t2?2t2?2n?2??0.4444n旧2??1.5?旧?t2?2t2?2n?2??0.25n旧2??2?旧? 即允许误差减少一半，样本单位数应该扩大3倍。

即允许误差扩大50%，样本单位数可以减少55.56%。 即允许误差扩大1倍，样本单位数可以减少75%。 [几点说明]（1）本题是测试学生对样本容量与抽样平均误差（或极限误差）之间数量关系掌握的熟练程度。因此，本题关键是搞清楚在重复简单随机抽样情况之下，样本容量与平均误差、极限误差之间的公式关系。（2）本题还必须正确理解统计学中 “扩大了”、“减少了”的真实含义，注意与“扩大到”、“减少到”之间的本质差别。“扩大了一倍”等价于“是原来的二倍”，“减少了20%”等价于“是原来的80%”，貌似简单，却总有不少初学者搞错，因此必须引以重视。