万有引力定律及其应用习题及答案

做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，

A和B分别在O的两侧。引力常量为G。

图4

(1)求两星球做圆周运动的周期。

(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为×10 kg和×10 kg。求T2和T1两者平方之比。(结果保留3位小数)

解析：(1)A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A、B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。因此有：mωr＝MωR，

2

2

24

22

r＋R＝L，

联立解得R＝

mm＋ML，r＝

L

m＋MM对A星根据牛顿第二定律和万有引力定律得：

GMm?2π?2M＝m??L L2?T?M＋m解得：T＝2π

L3

。

GM＋m(2)将地月看成双星，由第一问所求有：

T1＝2π

L3

GM＋m将月球看做绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得

GMm?2π?2

＝m??L L2?T?

解得T2＝2π

L3

GM所以两种周期的平方比值为

?T2?2＝m＋M＝错误!＝。 ?T1?M??

答案：(1)2π

L3

(2)

GM＋m