人教A版数学必修五第二章2.3《等差数列的前n项和(1)》教案

课 题：2.3 等差数列的前n项和（1）

教学目标： 知识与技能

1．掌握等差数列前n项和公式的推导方法； 2．掌握公式的应用。 过程与方法

通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。 情感、态度与价值观

通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。 教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应

教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体 内容分析：

本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法 教学过程：

一、复习引入：

首先回忆一下前几节课所学主要内容：

?1．等差数列的定义： an－an?1=d ，（n≥2，n∈N）

2．等差数列的通项公式：

an?a1?(n?1)d (an?am?(n?m)d或an=pn+q (p、q是常数))

3．几种计算公差d的方法：

① d=an－an?1 ② d=4．等差中项：A?an?a1a?am ③ d=n n?1n?ma?b?a,A,b,成等差数列 25．等差数列的性质： m+n=p+q ?am?an?ap?aq (m, n, p, q ∈N )

“小故事”:

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答

说：

“1+2+3+…+100=5050 教师问：“你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发

现和寻找出某些规律性的东西 （2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们

要介绍的“倒序相加”法 二、讲解新课：

1、计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100

高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组： 第一个数与最后一个数一组； 第二个数与倒数第二个数一组；

第三个数与倒数第三个数一组，……（中间的一组数是什么呢？）

每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.（首尾配对相加法） 2、计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1)＋n

?1?2?3???(n?1)?n?n?(n?1)

2 这其实是求一个具体的等差数列的前n项和，那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？

3、数列的前n项和的定义

一般地，我们称 a1?a2?a3???an称为数列?an?的前n项和，记为Sn.

即Sn?a1?a2?a3????????an4、（1）等差数列的前n项和公式1：Sn?证明：方法一 Sn?a1?a2?a3?

n(a1?an) 2?an?1?an ①

Sn?an?an?1?an?2???a2?a1 ②

①+②：2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)???(an?an) ∵a1?an?a2?an?1?a3?an?2??? ∴2Sn?n(a1?an) 由此得：Sn?n(a1?an) 2方法二 Sn?a1?a2?a3??an?1?an

?[a1?(n?1)d] ①

?a1?(a1?d)?(a1?2d)? 又∵Sn?an?an?1?an?2???a2?a1 ?an?(an?d)?(an?2d)??[an?(n?1)d]②

?(a1?an)

①+②：2Sn?(a1?an)?(a1?an)?(a1?an)? ∴2Sn?n(a1?an) 由此得：Sn?（倒序相加法）

n(a1?an) 2从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 （2）等差数列的前n项和公式2：Sn?na1?n(n?1)d 2 用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an 但an?a1?(n?1)d 代入公式1即得： Sn?na1?n(n?1)d 2 此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d （有时比较有用） 总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个 公式二又可化成式子：

Sn?d2dn?(a1?)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 22公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式. 练一练

根据下列各题中的条件，求相应的等差数列?an?的Sn ： （1）a1?5,an?95,n?10 （2）a1?100,d??2,n?50

三、例题讲解

例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

解：根据题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列{an}，且

a1=500， d?50

故，该市在未来10年内的总投入为

10??10?1?S10?10?500??50?7250?万元?2

答：该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。

2. 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前n项和的公式. 解：方法一由题设： S10?310 S20?1220 得： ??10a1?45d?310?a1?4 ??

?20a1?190d?1220?d?6n(n?1)?6?3n2?n 2 ∴ Sn?4n? 方法二 S10?10(a1?a10)?310?a1?a10?62①

220(a1?a20)?1220?a1?a20?122②

2

S20? 两式相减得a20 ?d?a10?60?10d?60

?6 a1?4

（nn?1）Sn?a1n?d?3n2?n2

对于等差数列的相关量 a1, an, n, d, Sn ，已知几个量就可以确定其他量？ （知 三 求 二） 四、练习

1、在等差数列?an?中a1?20,an?54,Sn?999,求n.

n(a1?an)n(20?54)得，999? 22 n?27

解：由Sn?2、等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：设题中的等差数列为?an?，前n项为Sn 则 a1??10,d?(?6)?(?10)?4,Sn?54

由公式可得?10n?n(n?1)?4?54 2解之得：n1?9,n2??3（舍去）

∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54 五、课堂小结

1.等差数列的前n项和（两个） 公式1：Sn?n(a1?an) 2 公式2：Sn?na1?n(n?1)d 22．等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；

3.公式的应用(知三求一)； 六、课后作业：

1、教材P46 A组第2、5题

2、到网上查找有关数学家高斯的故事，你能从这些故事中得到什么启示呢？ 3、到网上查找等差数列前n项和公式的应用，“发现”生活中的数学。 七、板书设计（略）