浙教版2017届九年级中考数学一轮复习专题练习：专题9 圆(1)

21.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF． （1）求证：∠1=∠F． （2）若sinB=

，EF=2

，求CD的长．

【考点】圆周角定理；解直角三角形．

【分析】（1）连接DE，由BD是⊙O的直径，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中点，得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠B等量代换即可得到结论； （2）g根据等腰三角形的判定定理得到AE=EF=2中，根据勾股定理得到BC=列方程即可得到结论．

【解答】解：（1）证明：连接DE， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB=90°， ∵E是AB的中点， ∴DA=DB， ∴∠1=∠B， ∵∠B=∠F， ∴∠1=∠F；

（2）∵∠1=∠F，

，推出AB=2AE=4

，在Rt△ABC

=8，设CD=x，则AD=BD=8﹣x，根据勾股定理

∴AE=EF=2∴AB=2AE=4

， ，

在Rt△ABC中，AC=AB?sinB=4， ∴BC=

=8，

设CD=x，则AD=BD=8﹣x， ∵AC2+CD2=AD2， 即42+x2=（8﹣x）2， ∴x=3，即CD=3．

22.如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．

（1）求证：CD是半圆O的切线； （2）若DH=6﹣3

，求EF和半径OA的长．

【分析】（1）连接OB，根据已知条件得到△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根据平行线的性质得到OC⊥CD，由切线的判定定理即可得到结论；

（2）根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE=AD，根据相似三角形的性质得到的性质即可得到结论．

，求得EF=2﹣

，根据直角三角形

【解答】解：（1）连接OB， ∵OA=OB=OC，

∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB=OC，

∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵∠FAD=15°， ∴∠BOF=30°， ∴∠AOF=∠BOF=30°， ∴OF⊥AB， ∵CD∥OF， ∴CD⊥AD， ∵AD∥OC， ∴OC⊥CD，

∴CD是半圆O的切线；

（2）∵BC∥OA， ∴∠DBC=∠EAO=60°， ∴BD=BC=AB， ∴AE=AD， ∵EF∥DH， ∴△AEF∽△ADH， ∴

，

， ，

∵DH=6﹣3∴EF=2﹣∵OF=OA，

∴OE=OA﹣（2﹣∵∠AOE=30°，

），

∴==，

解得：OA=2．

23.如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．

（1）求证：∠ACD=∠B；

（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F； ①求tan∠CFE的值；

②若AC=3，BC=4，求CE的长．

【考点】切线的性质．

【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明． （2）①只要证明∠CEF=∠CFE即可． ②由△DCA∽△DBC，得

=

=

=，设DC=3k，DB=4k，由CD2=DA?DB，得9k2=

=

，设EC=CF=x，列

（4k﹣5）?4k，由此求出DC，DB，再由△DCE∽△DBF，得出方程即可解决问题．

【解答】（1）证明：如图1中，连接OC． ∵OA=OC， ∴∠1=∠2， ∵CD是⊙O切线， ∴OC⊥CD， ∴∠DCO=90°，